Қосымша аргумент енгізу арқылы шығарылатын тригонометриялық теңдеулер

а соsх +вsinx = с түрінде берілген теңдеуді шешу үшін теңдіктің екі жағын _{ }А>0 санына мүшелеп бөлейік.

Сонымен sinφ•соsх+ соsφ•sinx=c/A, sin(φ+x)=c/A.Егер │ c/A│˃1 болса,онда теңдеудің түбірі болмайды; егер│c/A│≤1 болса, онда теңдеудің түбірлері болады және олар мына формулалар арқылы табылады:

Мысалдар қарастырайық.

8-мысал. 12 соsх - 5 sinx = 13 sin3x теңдеуін шешейік.
Шешуі. Теңдіктің екі жағын мүшелеп 13-ке бөлеміз, себебі _{ }. Сонда 12/13 соsх-5/13sinx=sin3x.Осы теңдіктен sinφ =12/13, cosφ=5/13 деп алсақ, онда sinφ•соsх+ соsφ•sinx= sin3x, мұндағы φ— қосымша бұрыш. Қосымша бұрыш 0 < φ< π/2 - аралығында өзгереді, себебі sinφ˃0, cosφ> 0.
sin(φ-x)- sin3x = 0 немесе sin3x+sin(x-φ) = 0,
2 sin(3х+х-φ)/2•соs(3х-х+φ)/2=0.
Осыдан sin(2х -φ /2)= 0 және соs(х+φ /2)= 0 теңдеулеріне келеміз.
sin(2х -φ /2)= 0; 2х -φ /2= πп; 2х= φ/2+πп, пεZ.
х=φ /4+ πп/2, пεZ-бірінші теңдеудің шешімі.
соs(х+φ /2)= 0, х+φ /2= π/2+πḳ, ḳεZ; х= π/2- φ/2+ πḳ, ḳεZ-екінші теңдеудің шешімі.
Қосымша аргумент φ= arccos5/13 теңдеуімен анықталса (себебі cosφ=5/13),онда x=1/4 arccos5/13+ πп/2, пεZ, х= π/2- 1/2 arccos5/13+ πḳ, ḳεZ.
Егер қосымша аргумент sinφ =12/3 теңдігімен анықталса, онда φ=arcsin12/13.
Теңдеудің шешімі мына түрде беріледі:

x=1/4 arcsin12/13+ πп/2, пεZ, х= π/2- 1/2 arcsin12/13+ πḳ, ḳεZ.