Жауабы: arcctg1/3+ πп, пεZ,π/4+ πп, пεZ
ІІ.Тригонометриялық теңдеулерді түрлендіру жолымен шешілетін тригонометриялық теңдеулер.
Мысалдар қарастырайық.
-мысал. sіnх+ sіn2х + sіn3х = 0 теңдеуін шешейік.
Шешуі.Берілген теңдеуді шешу үшін қосылғыштардың орнын ауыстырып , топтаймыз. Сонда (sіnх+sіn3х)+sіn2х=0 шыгады.
Енді жақша ішіндегі өрнекке синустардың қосындысының формуласын, яғни sіnα+ sіnβ =2sіn(α+β)/2· соs(α-β)/2 пайдаланамыз.Сонда 2sіn(х+3х)/2· соs(х-3х)/2+ sіn2х = 0, 2sіn2х· соs(-х)+ sіn2х = 0,sіn2х· (2соsх+1)= 0,
Берілген тендеу sіn2х= 0, соs х =-1/2 түріндегі екі қарапайым теңдеуге келеді.
Бірінші теңдеудің шешімі: 2х = πп, х = π/2п, пεZ.
Екінші теңдеудің шешімі: х = ±2π/3+2πп, пεZ.
Жауабы: π/2п, пεZ; ±2π/3+2πп, пεZ.
5-мысал. соs4х • соs2х = соs5х· соsх теңдеуін шешейік.
Шешуі. Тригонометриялық формулаларды қолданып, көбейтінді түрінде берілген өрнектерді қосындыға алмастырамыз:
соs4х • соs2х = 1/2(соs6х+ соs2х), ал соs5х • соsх = 1/2(соs6х+ соs4х).
Осыдан
соs6х+соs2х-соs6х-соs4х=0
соs2х-соs4х=0
Енді косинустардың айырымының формуласын қолданып, 2sіn3х·sіnх=0 аламыз.
Егер sіn3х =0 болса, онда 3х = πп, х = π/3п, пεZ.
Егер sіnх = 0 болса, онда х = πп, х = πп, пεZ.
Алынған шешімдерді біріктірсек, онда х = π/3п, пεZ шығады.
Жауабы: х = π/3п, пεZ.
ІІІ. Функциялардың дәрежесін төмендету арқылы шешілетін тригонометриялық теңдеулер.
6-мысал. соs2 х + соs22х + соs2Зх +соs24х = 2 теңдеуін шешейік.
Шешуі. Теңдеуде берілген функциялардың дәрежесін төмендету үшін жарты бұрыштың формуласын (соs2 х/2 = (1+соs х)/2) пайдаланамыз.
Сонда (1+соs 2х)/2) +(1+соs 4х)/2) +(1+соs 6х)/2) +(1+соs 8х)/2) = 2
(соs2х+соs8х)+(соs4х+соs6х)=0
2соs5хсоs3х+2соs5хсоsх=0
2соs5х(соs3х+соsх)=0.Қосындыны көбейтіндіге түрлендіріп, 2соs5хсоs2хсоsх=0 аламыз.
Осыдан соs5х= 0, соs2х= 0, соsх= 0 теңдеулері алынады.ǂ
Осы теңдеулердің шешімдері сәйкесінше: 5х =π/2+πп немесе х =π/6+πп/5; 2х =π/2+πп немесе х =π/4+πп/2; х =π/2+πп, пεZ.
Барлық шешімдерді біріктіріп, х = π/10+π/5 п = π/5(1/2+ п), пεZ аламыз.
Достарыңызбен бөлісу: |
