Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады
жүктеу/скачать 0,74 Mb.
|
598d605b-380b-11e3-9dea-f6d299da70eeықтималдық теориясы
| Теорема. Егер әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты және ол p- ге тең болса,онда n рет тәуелсіз сынау жүргізгенде ол оқиғаның дәл m рет пайда болу ықтималдығы мынаған тең:
Pn(m)=pmqn-m. Дәлелдеу. Мұны дәлелдеу үшін n рет тәуелсіз сынау жүргізгенде оқиғаның дәл m рет пайда болуын В оқиғасы деп белгілейік. Оқиғаның (А оқиғасы) m рет пайда болуының және n-m пайда болмауының () барлық мүмкін болатын тізбегін құрайық.Ол: АĀ,,... Бұл тізбек мүшелерінің (оқиғалардың) бір- бірінен айырмашылығы тек орналасу ретінде ғана болып отыр, сондықтан оны А оқиғасы m рет,Ā оқиғасы n-m рет енетін қайтамалы алмастыру деп қарастыруға болады.Олардың саны = (10.4) Тізбек мүшелері (оқиғалар) қос- қостан үйлесімсіз оқиғалар. Бұлардың қандай да біреуінің пайда болуынан В оқиғасы пайда болып отырады,бұл жағдай былайша жазылатын: B = AA … AĀĀ … Ā + AA … AĀAĀ … ĀĀ + … + ĀĀ … ĀAA … A. Қосу теоремасы бойынша, p(B)= p(AA … AĀAĀ …ĀĀ)+ … +p(ĀĀ … ĀAA …A). Теңдіетің оң жақ бөлігіндегі әрбір ықтималдықты анықтайық.Ол үшін p(AA … AĀĀ … Ā) ықтималдығын алайық.Бұл А оқиғасының m рет алынған р ықтималдықтары мен Ā оқиғасының n-m рет алынған q ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең,яғни P(AA … AĀĀ …Ā)=p(A) p(A) … p(A) p(Ā) …p(Ā)=pp … pqq …q=pmqn-m. Қалған ықтималдықтардың да осы pmqn-m тең болатынын байқау қиын емес. Енді(10.4) формуласын ескеріп,р(В) ықтималдығын былайша жазамыз, p(B)=pmqn-m+ pmqn-m +….+ pmqn-m=pmqn-m. (1) Оқиғаның тәуелсіз n сынауда дәл m рет пайда болу ықтималдығы р(В)-ні жеңіл түсіну үшін оны деп жазамыз, сонда pn=(m)=pmqn-m. (1) Осымен теория дәлелденді. Бұл формуладағы m- нің мәндері 0,1,2, ... , n болуы мүмкін. m- нің көрсетілетін мәндеріндегі оқиғалар бір бірімен үйлесімсіз барлық мүмкін оқиғалардың толық тобын құрайды. Сондықтан олардың қосындысы ақиқат оқиға.Ал ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең болғандықтан, pn(0)+pn(1)+…+Pn(n)=1, немес Формуладағы мәнін қойсақ, шығады.
формуладағы қосындысы бірге тең ықтималдықтар m=0,1,2, …,n мәндеріне сәйкес pn(0), pn(1), pn(2),…, pn ықтималдықтарға бөлінді (үйлестірілді).Сондықтан m=0,1,2,…, n болғанда, pn=(m)=pmqn-m. формуласын ықтималдықтардың биномдық үлестірімділігі не биномдық үлестірімдік заңы деп атайды. Ал м нің дербес мәніне сәйкес ықтималдықты биномдық ықтималдық деп атайды.Биномдық үлестірімдік заңын таблица түрінде жазуға болады. Бұл таблицаның бірінші қатарында м мәндері,екіншісінде оларға сәйкес pn=(m) ықтималдық мәндері келтірілген:
Жоғарыда аталған «биномдық», «биномдық ықтималдық» терминдерінің шығу төркінін түсіндірейік. Әрбір сынауда не А оқиғасы,не Ā оқиғасы пайда болатындықтан, p(A)+p (A) не p+q=1 n рет тәуелсіз санау жүргізсек,онда көбейту теоремасы бойынша былай болады: (p+q)n=1 (3) мен (2) теңдіктің оң жақ бөліктері тең болғандықтан,сол жақ бөліктері де тең болады,олай болса, Бұл формула Ньютон биномы формуласынан да шығады.Шынында (q+pt)n=qn+ (5) Болады. Бұл өрнектегі коеффиценті мынадай: Егер десек ,онда () формула шығады. Сонымен,мұндағы m=0,1,2… , n мәндеріне сәйкес pn(m) ықтималдығын биномдық ықтималдық деп атау себебі биномды (екі мүшені) Ньютон формуласы бойынша жіетеу ұқсастығында болып отырғанын байқаймыз. Бұл ықтималдылықтарды график түріде кескіндеуге болады.Ол үшін абциссалар осіне м мәндерін,ординаталар осіне мәедерін салу керек.Әрбір сандарына сәйкес ұштарын қоссақ, көп бұрыш шығады.Мұны ықтималдықтардың үлестірімділік көп бұрышы деп те атайды.Бұл графиктер үшінші мысалда кетірілген( 7және 8 чертежді қара) 2-мысал.Нысананы көздеп тәуелсіз 10 рет оқ атылды.Әр қайсысының нысанаға тию ықтималдығы –ге тең болса,онда атылған тәуелсіз 10 оқтың нақты 4- нің нысанаға тиюі ықтималдығын анықтау керек. Шешуі:Есеп шарты бойынша сынау саны n=10.Әрбір сынаудағы оқиғаның пайда болу ықтималдығы p= және m=4. Демек ( 1) формула бойынша pn(m)=p10(4)=46=21046=0,22760 3-мысал. 2 мысалы шартын пайдаланып, m=0,1,2,….,10 мәндеріне сәйкес ықтималдықтарды есептеп және олардың графигін сызу керек. Шешуі:Іздеп отырған ықтималдықтарды,2- мысалдағыдай,(1) формула бойынша есептейміз,сонда P10(10)=10=0,0173. P10(1)=9=10*9=0,0867. P10(2)=28=45*28=0,19551. P10(3)=37=120*37=0,2602. P10(4)=46=210*46=0.2276. P10(5)=55=252*55=0,1366. P10(6)=64=210*64=0,0569. P10(7)=73=120*73=0,0163. P10(8)=82=45*82=0,0031. P10(9)=9=10*9=0,0003 P10(10)=0,00002 Ықтималдықтар мәнін чертежге салу үшін абцсиссалар осіне m мәндерін,ординаталар осіне рn(m) мәндерін саламыз(7- чертежді қара).Ал бұл чертеждегі рn(m) мәндерінің ұштарын қоссақ,онда 8- чертежде көрсетілген ықтималдықтар үлестірімділігінің көпбұрышы шығыды. 4- мысал. Ұл баланың туу ықтималдығы-0,51 .Жаңа туған 100 нәрестенің дәл 50-нің ұл бала болу ықтималдығын анықтау керек. Шешуі:Шарт бойынша n=100,m=50,p=0,51,q=0,49. Формула бойынша P100(50)= (0.51)50 (0.49)50. Теңдіктің екі жағын да логарифмдейміз,сонда (50) = lg + 50 lg 0,51+50 lg 0,49. 10-параграфтағы 3-мысалдың шешуін пайдалансақ , Lg lg 50! = 29,0038. Ал
Сонда lg =50(-0,2924)=-14,6200. lg =50(-0,3098)=-15,4900. Демек, lg (50)=29,0038 – 14,6200 – 15,4900 = -1,1062 = 2,8938 Бұдан іздеген ықтималдығымыз (50)=0,0783 0,078. жүктеу/скачать 0,74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|