Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады
§16.Оқиғаның кемінде бір рет пайда
жүктеу/скачать 0,74 Mb.
|
598d605b-380b-11e3-9dea-f6d299da70eeықтималдық теориясы
| §16.Оқиғаның кемінде бір рет пайда
болуының ықтималдығын есептеу Теорема.Бірнеше үйлесімді А1,A2,…,An оқиғаларының кемінде біреуінің пайда болу ықтималдығы барлық қарама- қарсы оқиғаладың бірден пайда болу ықтималдығын бір санынан шегергенге тең: р(А1 +A2+…+An)= 1- p(). (1) Дәлелдеу. А1,A2,…,An оқиғаларын кемінде біреуінің пайда болуын В-мен белгілейік. Оқиғалар үйлесімді болғандықтан, олардың В оқиғасына тиісті. А1,A2,…,An оқиғалардың бірде біреуі пайда болмайтын В-ге қарама қарсы оқиға ықтималдығы мынаған тең р()= p(). (2) (13.6) формуланы еске түсірсек, сонда р(В)=1- p(), (3) немесе р(А1 +A2+…+An)= 1- p(). (4) болады. 1-салдар. А1,A2,…,An оқиғалар жиынтығы бойынша тәуелсіз болса, онда р(А1 +A2+…+An)= 1- p(). (5) 2-салдар. Егер р(А1) = p(A2) = … = p(An) = p болса , онда р(А1 +A2+…+An)= 1- p(1-p)n. (6) 1-мысал. Соғыс кемелері жүзетін жолға үш қатар мина қамалы жасалынған. Кеме осы мина қамалдарының ең тиімді жоларын тауып өтуі керек. Бірінші қатардан өткенде кеменің минаға тиіп жарылу(А) ықтималдығы – 0.60, екінші қатарда жарылу (В) ытималдығы- 0.70, үшіншіде жарылу (С) ықтималдығы – 0.50. кеме осы мина қамалдарын өткенде кемінде бір қатарда минаға тиіп жарылу ықтималдығын анықтау керек. Шешуі. Есеп шарты бойынша кеменің бірінші,екінші, үшінші қатарларда жарылмау ықтималдығы сәйкес түрде сандарына тең. Сонда кеменің үш қатар мина қамалынан аман өту ықтималдығы 0,4∙0,3∙0,5 көбейтіндісіне тең. Кемінде бір қатарда жарылу ықтималдығын P десек, ол мынадай болады: 94 2-мысал. Бір нысананы көздеп үш рет оқ атылды. Бірінші рет атылған оқтың нысанаға дәл тию ықтималдығы – 0,2, екінші ретте дәл тию ықтималдығы – 0,3, үшінші - 0,4. Осы атылған үш оқтың кемінде біреуінің тию ықтималдығын анықтау керек. Шешуі. Бұл есепті екі тәсілмен шешуге болады. Бірінші атылған оқтың нысанаға тиюі А оқиғасы (тимеуі А оқиғасы), сәйкес екінші және үшінші реттегі нысанаға дәл тиюі А және А (тимеуі А және А) болсын. Оқ үш рет атылғанда үшеуі де тиюі не екеуі тиіп, біреуі тимеуі немесе біреуі тиіп, екеуі тимеуі мүмкін, яғни бұлар,AAA , ААА, ААА, ААА, ААА, ААА түрінде жазылады. Оқиғалардың кемінде бір рет пайда болуын B деп белгілесек, онда Көбейту және қосу теоремаларының және А, А, А тің жиынтығы бойынша тәуелсіздігін ескерсек, онда В оқиғасының ықтималдығы мынаған тең болады: + Сонымен, іздеген ықтималдық 0,664-ке тең. Бірақ бұл жол аса көп есептеуді керек ететінін көрдік. Ал екіншісі, бұған қарағанда, қысқа. Енді сол екінші жолды келтірейік. В оқиғасына қарама-қарсы оқиға, атылған оқтың үшеуі де нысанаға тимеуі В=ААА тең. В және В оқиғалары үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын болғандықтан, бұдан шығады. Ал, болады. Олай болса, іздеген ықтималдығымыз Бұдан екінші тәсілмен жоғарыдағыдай есептерді шешудің тиімді болатынын байқаймыз. 3-мысал. Нысанаға атылған үш оқтың әрқайсысының тию ықтималдығы бірдей, 0,3-ке тең. Сол атылған оқтардың кемінде біреуінің нысанаға тию (В оқиғасы) ықтималдығын анықтау керек. Шешуі. 2-мысалдың бұл дербес түрі. Өйткені демек, Олай болса, жүктеу/скачать 0,74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|