Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады
§15. Ықтималдықтарды көбейту теоремасы
жүктеу/скачать 0,74 Mb.
|
598d605b-380b-11e3-9dea-f6d299da70eeықтималдық теориясы
| §15. Ықтималдықтарды көбейту теоремасы
Бұл теорема тәуелді немесе тәуелсіз бірнеше оқиғалардың бірден пайда болу ықтималдығын есептеуге мүмкіндік береді. Теорема. Екі тәуелді оқиға көбейтіндісінің ықтималдығы біреуінің шартсыз ықтималдығын сол оқиға пайда болды деп алынғандағы екінші оқиғаның шартты ықтималдығын көбейткенге тең: р(АВ)=р(А)рА(В) (1) немесе р(АВ)=р(B)рB(A) (1’) Дәлелдеу. Тең мүмкіндікті, үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын n жағдайлардың А оқиғасына қолайлысы m болсын.Онда оның ықтималығы мынаған тең: р(А)= (2) Сондай-ақ В оқиғасына қолайлы жағдайлар саны k болсын, онда оның ықтималдығы мынаған тең: р(B)= (3) AB (А және В) оқиғасына қолайлы жағдайлар саны r болсын, онда мұның ықтималдығы мынау: р(АВ)= (4) Әрине r ≤ m, r ≤ k. Шартты ықтималдық мәні Рв(А)= (5) Өйткені В оқиғасына қолайлы k жағдайлардың ( бұл жерде оқиғалар тең мүмкіндікті, үйлесімсіз оқиғалар деп түсінеміз) тек r жағдайы ғана А оқиғасына тиісті. Осы сияқты, РА(В)= (6) орындалатынын көрсетуге болады. Енді (4) бөлшектің алымын да, бөлімін де m санына көбейтеміз, сонда Р(АВ)= ал, егер оның алымын да, бөлімінде k санына көбейтсек, мынау шығады: Р(АВ)= Теорема дәлелденді деп есептейміз. (1) және (1’) тендіктерінің сол жақ бөліктері боліктері тең болғандықтан, оның оң жақ бөліктері өзара тең болады: (7) Теорема оқиғалар саны екіден артық болғанда да орындалады. 1-салдар. А,В,С тәуелді оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығы бірінің шартсыз ықтимадығына, алдыңғы екі оқиа орындалғандағы үшінші шартты ықтималдықты көбейткенге тең, яғни Мұны басқаша түрде былай жазуға болады: Жоғардағы үш оқиғаның орнына n тәуелді А1,A2,…,An оқиғаларын алғанда p(А1,A2,…,An)= p (A1)p(A2)… теңдігі орындалады. 1-мысал Жәшіктегі біркелкі М қызыл, N-M ақ шардан кез келген екі шар алынады. Оның екеуі де қызыл болу ықтималдығын анықтау керек (11.1-мысалмен салыстыр). Шешуі. Шарды бір брлеп алайық, алынған шар жәшікке қайта салынбайды.Бірінші алынған шардың қызыл түсті болуы В оқиғасы,екінші алынған шардың қызыл түсті болуы А оқиғасы болсын. Сонда р(В)= Бірінші жолы қызыл түсті шар шыққан (В оқиғасы) соң,екінші алғанда қызыл түсті шар шығу(А оқиғасы) ықтималдығы мынаған тең: pB(A)= өйткені шар саны қызыл түсті шардың алынуына байланысты1- ге кеміген. Олай болса, бірінші және екінші алынған шардың қызыл түсті болу ықтималдығы (АВ оқиғасы) мынадай: р(АВ)=p(B)pB(A)= Бұл нәтижені (ықтималдықтарды ) тікелей есептей аламыз. Шынында да, екішарды тең мүмкіндікті тәсілмен аламыз. Ал екі қызыл түсті шарды ылғи қызыл ылғи қызыл шардың ішінен тәсілмен аламыз, сонда іздеген ықтималдығымыз мынадай p(A)=
2-мысал.
Сөзін кұрастыратын кеспе әріптер әбден араластырылып, 4 кеспе әріпті қатарынан қойғанда сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек (6.2-мысалмен салыстыр).
Шешуі. Бірінші алған кеспе әріп болуы А1
Оқиғасы болсын, екіншісі болуы- A2, үшіншісі-
Болуы А3 оқиғасы, төртіншісі болуы А4 оқиғасы болсын десек,
онда сөзінің пайда болуы А оқиғасы болады.кобейту теоремасы бойынша
р(А)= p( ) = Енді тәуелсіз оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығын анықтау мәселесін қарастырайық. жүктеу/скачать 0,74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| ||||||||||||||||||||||||