Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады
жүктеу/скачать 0,74 Mb.
|
598d605b-380b-11e3-9dea-f6d299da70eeықтималдық теориясы
| Қосудың кеңейтілген теоремасы
Егер А,А,....А қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар болса, онда бұлардың қосындысының ықтималдылығы олардың әрқайсысының ықтималдылықтарының қосындысына тең болады, яғни р (2) Дәлелдеу: Мұны толық математикалық индукция әдісімен дәлелдейік. n =2 болғанда теореманың дұрыстығы өткен теоремада дәлелденді. Бұл теорема n= k үйлесімсіз А,А,...А оқиғалары үшін дұрыс болады дейік, яғни р (3) Енді n= k+1 болғанда да теореманың дұрыстығын дәлелдейміз. Берілгені бойынша оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз, олай болса, мен оқиғалары да үйлесімсіз, сонда р (3) теңдікті ескерсек, теореманың n= k+1 үшін де дұрыс екендігін көреміз. Олай болса, теорема n-нің кез келген мәні үшін де дұрыс. Егер n = 3 болса, онда бұл теорема былай жазылады: р(А+В+С) =р(А)+р(В)+р(С), (4) мұнда А= 3-мысал. 4.5 –мысал шартын пайдаланып, куб ұпайларының қосындысы кемінде 9-ға тең болу ықтималдылығын анықтау керек. Шешуі: А оқиғасының пайда болуына ұпайларының қосындысы не 9 ( оқиға), не 10 ( оқиға), не 11 ( оқиға), не 12 ( оқиға) болған жағдайлар ғана қолайлы болып табылады. Сонымен, есептің шешуі қосындысы 9-дан 12-ге дейін сан болатын жағдайлар саны m-ді табуға келіп тіреледі. Өйткені барлық тең мүмкіндікті, қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлар (элементтар оқиғалар) саны n =36 болатыны өткендегі 4-параграфтағы 5-мысалдан мәлім. 4-параграфтағы 1-таблица бойынша нөмеллерінің қосындысы 9 болатын нәтижелер (ұялар) саны =4. Бұлар – оқиға қолайлы жағдайлар, сол сияқты, қосындысы 10 болатын -ге қолайлы жағдайлар саны =3, сондай-ақ, =2, =1. Олай болса, р не 27.8 1-салдар. Оқиғалардың толық тобын құрайтын қос-қостан үйлесімсіз сынау нәтижелері ықтималдылықтарының қосындысы бірге тең. Дәлелдеуі: оқиғалары оқиғалардың толық тобын құрайды. Олай болса, бұлардың қосындысының ықтималдылығы бірге тең, өйткені сынау нәтижесінде бұл оқиғалардың әйтеуір біреуінің пайда болуы ақиқат. Сонымен, р Екінші жағынан, қосудың кеңейтілген теоремасы бойынша 1 = р (5) Сонымен салдар дәлелденді. 2-салдар. Қарама-қарсы екі оқиға ықтималдылықтарының қосындысы бірге тең, яғни р(А)+р(А) =1 (6) Дәлелдеуі. Мұнын дәлелдемесі бірінші салдардан айқын көрініп тұр.Өйткені А+А оқиғасы ақиқат, сондықтан р(А+А) =1 Екінші жағынан, А мен А оқиғалары үйлесімсіз болғандықтан, 1 = р(А+А) =р(А)+р(А) Бұдан А оқиғасына қарама-қарсы А оқиғасының ықтималдылығы бір санынан А оқиғасының ықтималдылығын шегергенге тең, яғни р(А)=1-р(А). Мұны бұдан былай р(А) =р, р(А) =q деп белгілеген қолайлы. Сонда (6) бойынша р+ q =1 (6) түрінде жазылады. Бұдан р =1- q не q =1- р шығады. 4-мысал. Класта 20 бала бар. Олардың 4-уі үздік оқушы. Класс жетекшісі бір жұмысқа кез-келген 3 оқушыны шақырады. Сол шақырылған оқушылардың кемінде біреуінің үздік болу ықтималдылығын анықтау керек. Шешуі: Шақырылған оқушылардың дәл үшеуі де үздік болмауы А оқиғасы болсын, сонда оған қарама-қарсы оқиға шақырылған оқушылардың кемінде біреуінің үздік болатының көрсетеді. 3 оқушыны 20 оқушының ішінен С тәсілмен шақыруға болады, яғни n =С тәсілмен шақырамыз. Сонда р(А) = Ал ізделінген ықтималдылық мәні р(А) =1-р(А)=1- Бұл мысалды екінші тәсілмен былай шешуге болады. Кемінде бір оқушының үздік болуы (А оқиға) дегенде не біреуі (А оқиға), не екеуі (А оқиға), не үшеуі (А оқиға) үздік деп түсінеміз. Бұл А,А,А, оқиғалар үйлесімсіз, сондықтан р(А) =Р Теңдәктін оң жақ бөлігіндегі ықтималдылықтарды есептеу үшін оқиғаларға сәйкес қолайлы жағдайлар саны табу керек. Алдымен оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m-ді есептейік.Бұл жағдайда шақырылған үш оқушының біреуі үздік те, қалған екуі нашар оқитындар. Ал үздік оқушыны ылғи үздік оқушылар арасынан С тәсілімен шақыра аламыз, ал қалған екеуін қалған 16 оқушыдан С тәсілімен шақыра аламыз. Бірақ әрбір үздік оқушыға сәйкес сан қалған оқушылар санымен комбиницияланып келеді, сондықтан m= C*C Олай болса, р(А)=С*С/С=480/1140 Қалғандарын да осылай талдасақ, былай басталады: р(А)=С*С/С=480/1140, р(А)=С*С/С=4/1140. Демек, іздеген ықтималдылық мынау: р(А)=480+96+4/1140=580/1140=29/57~0,51 жүктеу/скачать 0,74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|