Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады
жүктеу/скачать 0,74 Mb.
|
598d605b-380b-11e3-9dea-f6d299da70eeықтималдық теориясы
| §10 Терулер
N элементтен әрқайсысы k дан алынған орналастыруларды бір-бірінен айырмашылығы не элементінде, не элементтің орналасу ретінде ғана болатын дербес түрін алмастырулар дедік. Енді элементтерінің орналасу ретіне көңіл аудармай (яғни мұндай орналастыруларды бірдей деп), айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастыруларды қарастырайық. Мұны сысалдан бастайық. 1- мысал. а,b,c әріптерінен элементтерінің орналасу ретін ескермей, айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын: а) екі-екі элементтен неше комбинация жасауға болады; ә) үш-үш элементтен неше комбинация жасауға болады? Шешуі. а) a,b,c элементтерден екі-екіден жасалған орналастырулар саны Оларды түгел жазайық: аb, ba, ca ас, bc, сb Бұлардан мынадай үш топқа бөлеміз: ab мен ba, ас мен са, bc мен сb. Әр топқа енетін орналастырулардың айырмашылығы тек элементтерінің тұрған орнында. Мысалы, бірінші топта ab мен ba, екіншісінде ас мен са, үшіншісінде bc мен cb. Әр топтағы орналастырулар саны екі элементтен жасалған алмастыру саны тең. Сонда орналастыруды есе кемітсек , айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастырулар саны шығады, олар аb, ac, bc б) Үш элементтен үш-үштен жасалған орналастырулар саны , олар: abc, bac, cab, acb, bca, cba. Бұлардың барлығы бір ғана топ құрайды, өйткені мұндағы орналастырулардың айырмашылығы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана. Осы бір топтың ішіндегі орналастырулар саны үш-үштен жасалған алмастыру саны ! ға тең, сонда орналастыруды есе кемітсек, айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастырулар саны болып шығады. Ол- abc тіркесі. 2-мысал. а, b, c, d төрт элементтен орналасу ретін ескермей-ақ, үш элементтен алынған неше комбинация жасауға болады? Шешуі. 4 элементтен 3 тен алынған орналастырулар саны Бұлар әр түрлі 4топқа бөлінген, олар мыналар:
Мұндай жеке бір топ ішіндегі орналастырулар тек элементінің орналасу ретімен ғана айрылады. Ал осы 4 топтың бір-бірінен айырмашылығы кемінде бір элементінде, олар: abc, abd, acd, bcd. Әр топтың ішіндегі орналастырулардың саны 3 элементтен жасалған алмастырулар саны ! ға тең. Сонда орналастыруларды есе кемітсе, айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастырулар саны болып шығады. Бұл мысалдардағы 3,4 элемент орнына N элемент алынса, онда орналасу ретін ескермей-ақ, одан k дан алынған орналастырулар жасаймыз. Сонымен, N элементтен k дан алынған теру деп, айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастыруларды айтамыз. Оны символымен белгілейміз. Сонда (1) болады. Қорыта келгенде, айырмашылығы элементтерінің тек орналасу ретінде болатын орналастыруларды алмастырулар деп, ал айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастыруларды терулер дейміз. Орналастыруларда алмастырулар мен терулерде болатын қасиеттер қамтылғандықтан, (2) , мәндерін (1) формулаға қойсақ, шығатыны: (3) Бұл өрнектің оң жақ бөлігіндегі бөлшектің алымын да, бөлімін де 1*2*3....(N-k) санына көбейтсек, Яғни (4) Формуласы шығады. Бұл формуланы мұнан былай жиі қолданамы, (4) формула N=0 және k=0 мәндерінде де дұрыс болуы үшін 0!=1 деу керектігі естеріңізде болсын. N мен k мәндері үлкен болғанда мәнін (4) формуламен есептеу аса қиынға соғады. Сондықтан факториалдар логарифмдерін паидалану қолайлы. Осы себепті кітаптың соңында 100 факториалға дейінгі сандар логарифмдерінің таблицасын келтірдік(кітап соңындағы 1-таблицаны қара). 3-мысал: N=100, k=50 болғанда мәні неге тең? Шешуі: енді мұның екі жағын да логарифмдейміз, сонда lg 1-таблицадан: lg100! = 157,9700, lg50! = 64,4831. Демек, Бұдан өте үлкен сан шығады. Ал ықтималдықтарды есептегенде көп жағдайда N мен k үлкен болып келгенімен, факториалдар логарифмдерін пайдаланып есептеу жеңілге соғады(20-параграфтағы 4- мысалды қара). Терудің негізгі екі қасиетін келтірейік. 1- қасиеті. (5) Мұны дәлелдеу үшін (4) формуладағы k орнына N – k қоямыз. Сонда (6) Шығады. (4) және (6) өрнектердің оң жақ бөліктері тең болғандықтан, бұлардың сол жақ бөліктері де тең болады, яғни (7) 2- қасиеті. (8) Мұны дәлелдеу үшін орындарында бұлардың (4) формуладағы мәндерін қойып жазсақ, шығатыны: Терулердің екінші қасиетін пайдаланып Паскаль үшбұрышы деп аталатын төмендегі схеманы келтіру қолайлы. Паскаль үшбұрышы
Бұл үшбұрыштың құрылысымен танысқанда мынадай ережені байқау қиын емес: төменгі қатардағы әрбір сан (екі шеткісін қоспағанда) оның үштіңгі қатарындағы (сол цифрдың үстіндегі) оң жақ және сол жақ екі санның қосындысына тең, яғни мәні N- қатар үстіндегі N—1 қатарындағы теру мәндеріне сәйкес (7)-ші формула негізінде табылған. Сонымен, мәні N қатары мен k диагональдың қиылысуындағы санға тең. Мысалы, N=8, k=3 болғанда, мәні 8- қатар мен k=3-ке сәйкес диагональдағы 56 санына тең. Әрбір қатардағы сандар қосындысы санына тең. Мысалы, N=3 болғанда 1+3+3+1=8= , N=7 болғанда 1+7+21+35+35+21+7+1=128= т.с.с Ескерту. Жоғарыда келтірілген алмастыру, орналастыру және теру формулаларын математикалық индукция тәсілімен дәлелдеуді И. С. Соминский кітапшасынан қараңыздар. жүктеу/скачать 0,74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|