Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады
жүктеу/скачать 1,8 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- §7.АЛМАСТЫРУЛАР
| §6.ОРНАЛАСТЫРУЛАР
Алдыңғы параграфтағы 2-мысалдың бірінші шешуінде орыс алфавитінен үш әріп комбинациялары 32×31×30=29760 еді.Алфавит N әріптен тұрса, онда әрқайсысы үш әріптен тұратын комбинациялар саны N(N-1)(N-2) Болар еді.Ал енді 3әріп орнына әрқайсынының К әріптен тұратын комбинация құрсақ, олар N(N-1)(N-2)…[N-(K-1)]/ Тәсілмен табылады.Бұл өрнек N элементтен әрқайсысы К-дан жасалған орналастырулар делінеді.Бұл орналастырулардың әрқайсысына N элементтің ішіне К элемент еніп, олардың айырмашылықтары не элементтеріне (мысалы, аb,ас т.т),не элементтерінің орналасу ретінде (мысалы, аb және bа,bс жіне сb т.т.)болады.Мұны АKN символымен белгілейік.Сонда AkN=N(N-1)(N-2)…[N-(K-1)] Өрнекті ықшамдаған қолайлы.Ол үшін (1)өрнектің алымын да бөлімін де 1,2,3…(N-k) сандарына көбейтеміз.Сонда AKN , яғни Мұнда N!факториал деп оқылады, ол 1-ден N-ге дейінгі натурал сандардың көбейтіндісіне тең, яғни N!=1×2×3…N, Немесе
N!=N(N-1)(N-2)…3×2×1. 1-мысал.а,b,с,d әріптерінен екі әріптен алынған орналастырулар жасап және олардың комбинацияларын жазу керек. Шешуі. Бір әріпті 4тәсілмен аламыз.Екінші әріпті тәсілмен аламыз.Екінші әріпті тәсілмен аламыз.Бірінші алынған әріп екінші алынған әрбір әріппен комбинация құрайды,сондықтан екі-екіден алынатын әріптер комбинациясы 4×3=12 тәсілмен жасалады,(I) формула бойынша A24=4×3=12 Алынған әріптер тіркестері мынадай: Ab ba ca da Ac bc cd db Ad bd cd dc 2-мысал.А,В,К,М,О,С әріптері бірдей карточкаларға жазылып, бір колодаға салынған. Оларды әбден араластырып, бір-бірден (не бірден) төрт карточка аламыз.Сонда: а)6 әріптен төрт-төрттен неше тәсілмен алуға болады,ә)алынған 4 әріпті қатарынан тізіп қойғанда «КВАС» сөзінің пайда болу ықтималдығын есептеу керек. Шешуі.а)Колодадан алынған бірінші карточка сондағы 6карточканың бірі,яғни бірінші карточканы 6 тәсілмен алуға болады. Екі карточканы 6×5 тәсілмен алуға болады,өйткені бірінші карточка алынғаннан кейін екіншісін колодада қалған 5т карточканың ішінен алады.Оның үстіне, әрбір бірінші әріпәрбір екінші әріппен 6×5×4 тәсілмен, 4 әріптен алынатын комбинация 6×5×4×3 тәсілмен құралады. Есеп шарты бойынша N=6,K=4, ді (1) формуланы пайдалансақ, А46=6×5×4×3=360 Немесе
Ә)Алдымен n-ді анықтайық. Берілген 6 әріптен әрқайсысы 4 әріптен тұратын комбинация А46=360 тәсілмен табылады.Мұнымыз барлық тең мүмкіндікті нәтижелер саны. Бұл нәтижелер қос-қостан үйлесімсіз және олар оқиғалардың толық тобын құрайды.Демек,n=360.Енді аталған сөздің пайда болуына қолайлы жағдайлар саны m-ді табамыз. 4 әріпті тіркес ішіндегі бізге қолайлысы тек бірінші орында < §7.АЛМАСТЫРУЛАР N элементтен N-нен алынған орналастыруларды алмастырулар деп атайды. Алмастырулардың бір-бірінен айырмашылығы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана ,өйткені әрбір алмастырудағы элементтердің саны бірдей.Сонда (1) формулада N=k десек,
1-мысал.6-параграфтың 2-мысалында келтірілген А,В,К,М,О,С әріптерінен;а)неше алмастырулар жасауға болады?ә)карточкаларды қатарынан қойғанда <<МОСКВА>> өзінің шығу ықтималдығын анықтау керек. Шешуі.а)Айырмасы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана болатын 6! алмастырулар жасауға болады. Ә)Бұл алмастырудың әрқайсысының шығу мүмкіндігі бірдей.Сонда тең мүмкіндікті,қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын элементар нәтижелердің барлық саны n=6 болады.Бұлардың ішінде <<МОСКВА>> сөзінің шығу мүмкіндігі біреу-ақ демек,оның ықтималдығы §8 Элементтері қайталанатын алмастырулар Жоғарыда қарастырылған алмастыруда элементтің барлығы да әр түрлі еді. Бірақ алмастырулар жасалатын Ν элементтің кейбіреуі (бірнешеуі) қайталанып отыруы мүмкін. 1- мысал. Бірдей карточкаларға жазылған А, А, А, Б, Р, С, Т әріптерінен: а)7 әріптен алғанда неше алмастырулар шығады? ә) «АТБАСАР» сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек. Шешуі. а) Іріктемегенде әріптер әр түрлі болса, «жеті» әріппен жазылатын сөздер саны 7! болар еді. Ал биздің мысалымызда үш әріп бірдей. Сондықтан 7 әріпті әр түрлі сөздер (оның басым көпшілігі мағынасыз тіркестер) саны 7!- дан кемид. Өйткені «А» әріптері өз ара орындарын ауыстырғанда жаңа сөз шықпайды. Сондықтан есепті шешу үшін алдымен бірдей сөз құрайтын алмастырулар санын анықтап аламыз. «А» әрпінің өз ара орын ауыстырулар саны3!. Бұл әр типтегі сөздердің қайталану саны болмақ. Бұл жағдайда 7 әріпті сөздердің бір типі «АТБАСАР» деген сөзбен көрсетейік. Түсіну оңай болу үшін алдымен әріптерді 1-ден 7-ге дейінгі цифрлармен нөмірлейік. Осы сөз құралатын алмастырулардың түрлері төменде цифрлармен келтірілді:
Содан жеті әріптен тұратын әр түрлі «сөздер» бұл жағдайда 
тәсілмен шығады екен. а) Бұл алмастырулардың әрқайсысының шығу мүміндігі бірдей. Сонда тең мүмкіндікті, қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлардың барлық саны n=840. Бұлардың ішінде «АТБАСАР» сөзінің шығу мүмкіндігі біреуақ: Олай болса, Р(А)= Осы ықтималдықты басқа тәсілмен табайық. Әріптер әр түрлі болғанда, тең мүмкіндікті нәтижелер саны n=7! болады. Бұлардың ішінде «АТБАСАР» сөзінің пайда болуына қолайлы жағдайлар саны m=3!. Демек, оның ықтималдығы 
Тағыда да бір мысал келтірейік. 2-мысал. Бірдей карточкаларға А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т әріптері жазылған. а) Олардан 10әріптен құралатын сөздерді неше тәсілмен құрауға болады? ә) «МАТЕМАТИКА» сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек. Шешуі. а) алмастыруларға енетін әріптер саны N=10. бұл әріптердің барлығы да әр түрлі десек, онда небары 
болар еді. Бірақ А-дан басқа М әрпі екі рет және Т әрпі де екі рет қайталанып отыр. Сондықтан алмастырулардың жалпы саны мынаған тең болады: 
ә) 10 әріпті тіркестер тең мүмкіндікті, қос-қостан үйлесімсіз, оұиғалардың толық тобын құрайтын элементар нәтижелердің жалпы саны—151200. бұлардың ішінде аталған сөзіміздің шығуына қолайлы жағдайлар саны біреу-ақ. Олай болса, мұның ықтималдығы 
Мұны бірден 
Жазуға да болады. Сонымен барлық тең мүмкіндікті жағдайлар саны 10!. Ал аталған сөздің пайда болуына қолайлысы m=3!·2!·2! болады. Бұл мысалдардың шыққан нәтижелерді пайдаланып мынадай қорытынды жасайық: М жиыны  (1)
3-мысал. Алдыңғы мысалдағы «МАТЕМАТИКА» сөзінің әріптерінен неше алмастыру жасауға болады? Шешуі. Бұған жауап беру үшін (1)формуланы пайдаланамыз, сонда N=10, М әрпінің қайталану саны Демек,
жүктеу/скачать 1,8 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
=
алмастырулар жасауға болады. Бірақ біздің мысалымызда А әрпі үш рет қайталанып отыр. Егер А-дан өзге қалған әріптер әр түрлі десек, онда, өткен мысалға сәйкес, алмастырулар саны
элементтерінен құралын. Мұнда элементі рет, элементі рет, ....., элементі рет қайталанатын болсын 
. Сонда N элементтен берілген 
дан алынған алмастырулар саны мына формуламен анықталады:
А әрпінің қайталану саны 
Т әрпінің қайталану саны 
қалған әріптер бір реттен енеді.
