Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады

Ықтималдықтар теориясы мен оның қолданылуында осы уақытқа дейін қарастырылып келген жеке сынау нәтижесінің іс тұрғысынан қарағанда қажеттігі шамалы.Өйткені практика жүзінде жеке сынау нәтижесін алдын ала болжау мақсат етілмейді.Мұның орнына сынаудың сан алуан қайталанып отыратын жағдайы мен оған тиісті ықтималдықтарды есептеуді мақсат етеді.Осы айтылғандарды жай мысалдармен түсіндірейік.

1.Мақтаны еккенде оның жеке бір шитінің (дәнінің) көктеп шығуының(ықтималдығы) практика тұрғысынан ешқандай қажеті жоқ.Мақта егушілер үшін сол егілген шиттің қанша процетінің (ықтималдығы) шығуын білу жеткілікті.Осыған қарай мақта өнімін алдын ала болжап және жоспарлап отырады.

2.Мемлекеттік көлемде жеке адамның бас киімінің өлшемін(ықтималдығы) білу (я білмеу) назар аударалық іс емес.Бірақ жоспарлаушы ұйымдар,сауда мекемелері үшін сондай өлшемді киәм киетін адамдар неше процент(ықтималдық) құрайтынын білудің мәні зор.

Бұл келтірілген мысалдардың біріншісінде мақта шитінің өніп шығуы (сынаудың),екінші мысалда белгілі бір өлшемді бас киімнің сан алуан (сынаудың)қайталануын байқап отырмыз.Өорыта келгенде,сынаудың қайталанып отыруына байланыста мәселелермен айналысамыз.Алайда,сынау жүргізгенде бірнеше нәтиженің (оқиғаның) пайда болуын (мысалы,кубты лақтырғанда 6 нәтиже,монетті лақтырғанда екі нәтиже т.т) күтуімізге болады.Бұлардың ішіндегі ең қарапайымы сынау нәтижесі тек екі оқиға. А және оған қарама қарсы Ā болатын және әрбір тәуелсіз сынауда оқиғаның пайда болу ықтиалдығы тұрақты p=p(A) (пайда болмауы q=1-p) тең болатын схемасы (сынаудың түрі).Мұндай қарапайым схеманы тұңғыш қарастырған Швейцария ғалымы Я.Бернулли (1654-1705),сондықтан бұл схеманы Бернулли схемасы немесе тәуелсіз сынауларды қайталау схемасы деп айтады.Ал сынауды тәуелсіз дегенде біз оқиғаның пайда болу (я болмау) ықтималдығы бір сынаудан екінші сынауға дейін өзгермейді және оқиңа басқа , алдыңғы не соңғы,сынауларда пайда болды ма не болмады ма, оған байланысты емес деп түсінетін боламыз.

1-мысал.Нысананы көздеп 3 рет оқ атылды.Әр қайсысының дәл тию ықтималдығы бірдей,яғни ол –ге тең.Нысанға дәл екі оқтың тию ықтималдығы неге тең?

Бұл мысалда нысананы көздеп әрбір ату сынау болады. Сонда барлығы 3 сынау жүргізілді.Бір рет атылған оқтың нысанаға тиюі не тимеу нәтижесі екінші атылған оқтың тию тимеуіне тәуелді емес,яғни бұлар тәуелсіз санаулар.Оқтың бір атқанда нсанға дәл тиюі А оқиғасы десек,онда тимеуі Ā оқиғасы болады.Олардың ықтималдылықтары берілген шарт бойынша

P=p(A)=

Оқ үш рет атылғанда нысананға дәл екі рет тиюі В оқиғасы болсын.Әрине бұл күрделі оқиға,өйткені бұл оқиға құрамында алғашқы екі оқ тиіп үшіншісі тимейтін(ААА оқиғасы) не бірінші мен үшінші оқ тиіп,екінші мен (ААА оқиғасы), не екінші және үшінші оқ тиіп,біріншісі тимейтін (ААА оқиғасы) оқиғалар бар,яғни

B=AAĀ+AĀA+ĀAA.

А мен Ā оқиғалары тәуелсіз ал қосылғыштар үйлесімсіз олай болса,қосу мен көбейту теоремасы негізінде В оқиғасының ықтималдылығы.

P(B)=p=(AAĀ+AĀA+ĀAA)=p(AAĀ)+p(AĀA)+p(ĀAA)=p(A) p(A) p(Ā)+ p(A) p(Ā) p(A)+ p(Ā) p(A) p(A)=ppq+pqp+qpp=3p²q.

p²q өрнегінің коеффиценті 3 элементтен екі екіден алынған теру санына тең,олай болса,

p(B)= 3p²q = C²p²q=²=0.22.

Сонымен,А оқиғасының әрбір санауда пайда болу ықтималдығы тұрақты болғанда,В оқиғасының ықтималдығы неге тең болатынын анықтадық.Бұл нәтижелерді жалпы түрде көрсетейік,яғни мына теореманы дәлелдейік.

P_n(m)=p^mq^n-m.

Дәлелдеу. Мұны дәлелдеу үшін n рет тәуелсіз сынау жүргізгенде оқиғаның дәл m рет пайда болуын В оқиғасы деп белгілейік.

Оқиғаның (А оқиғасы) m рет пайда болуының және n-m пайда болмауының () барлық мүмкін болатын тізбегін құрайық.Ол:

АĀ,,...

Бұл тізбек мүшелерінің (оқиғалардың) бір- бірінен айырмашылығы тек орналасу ретінде ғана болып отыр, сондықтан оны А оқиғасы m рет,Ā оқиғасы n-m рет енетін қайтамалы алмастыру деп қарастыруға болады.Олардың саны

= (10.4)

Тізбек мүшелері (оқиғалар) қос- қостан үйлесімсіз оқиғалар. Бұлардың қандай да біреуінің пайда болуынан В оқиғасы пайда болып отырады,бұл жағдай былайша жазылатын:

B = AA … AĀĀ … Ā + AA … AĀAĀ … ĀĀ + … + ĀĀ … ĀAA … A.

Қосу теоремасы бойынша,

p(B)= p(AA … AĀAĀ …ĀĀ)+ … +p(ĀĀ … ĀAA …A).

Теңдіетің оң жақ бөлігіндегі әрбір ықтималдықты анықтайық.Ол үшін p(AA … AĀĀ … Ā) ықтималдығын алайық.Бұл А оқиғасының m рет алынған р ықтималдықтары мен Ā оқиғасының n-m рет алынған q ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең,яғни

P(AA … AĀĀ …Ā)=p(A) p(A) … p(A) p(Ā) …p(Ā)=pp … pqq …q=p^mq^n-m.

Қалған ықтималдықтардың да осы p^mq^n-m тең болатынын байқау қиын емес. Енді(10.4) формуласын ескеріп,р(В) ықтималдығын былайша жазамыз,

p(B)=p^mq^n-m+ p^mq^n-m +….+ p^mq^n-m=p^mq^n-m. (1)

Оқиғаның тәуелсіз n сынауда дәл m рет пайда болу ықтималдығы р(В)-ні жеңіл түсіну үшін оны деп жазамыз, сонда

p_n=(m)=p^mq^n-m. (1)

Осымен теория дәлелденді.

Бұл формуладағы m- нің мәндері 0,1,2, ... , n болуы мүмкін. m- нің көрсетілетін мәндеріндегі оқиғалар бір бірімен үйлесімсіз барлық мүмкін оқиғалардың толық тобын құрайды. Сондықтан олардың қосындысы ақиқат оқиға.Ал ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең болғандықтан,

p_n(0)+p_n(1)+…+P_n(n)=1,

немес

• 
  Формуладағы мәнін қойсақ,
  

• 
  формуладағы қосындысы бірге тең ықтималдықтар m=0,1,2, …,n мәндеріне сәйкес p_n(0), p_n(1), p_n(2),…, p_n ықтималдықтарға бөлінді (үйлестірілді).Сондықтан m=0,1,2,…, n болғанда,
  

формуласын ықтималдықтардың биномдық үлестірімділігі не биномдық үлестірімдік заңы деп атайды.

Ал м нің дербес мәніне сәйкес ықтималдықты биномдық ықтималдық деп атайды.Биномдық үлестірімдік заңын таблица түрінде жазуға болады. Бұл таблицаның бірінші қатарында м мәндері,екіншісінде оларға сәйкес p_n=(m) ықтималдық мәндері келтірілген:

m	0	1	2	…	m	…	n-1	n
pn=(m)	qn	npqn-1	p2qn-2	…	pmqn-m	…	npn-1q	pn

Жоғарыда аталған «биномдық», «биномдық ықтималдық» терминдерінің шығу төркінін түсіндірейік.

Әрбір сынауда не А оқиғасы,не Ā оқиғасы пайда болатындықтан,

p(A)+p (A) не p+q=1

n рет тәуелсіз санау жүргізсек,онда көбейту теоремасы бойынша былай болады:

(p+q)ⁿ=1 (3)

• 
  мен (2) теңдіктің оң жақ бөліктері тең болғандықтан,сол жақ бөліктері де тең болады,олай болса,
  

(q+pt)ⁿ=qⁿ+ (5)

Болады. Бұл өрнектегі коеффиценті мынадай:

Егер десек ,онда () формула шығады.

Сонымен,мұндағы m=0,1,2… , n мәндеріне сәйкес p_n(m) ықтималдығын биномдық ықтималдық деп атау себебі биномды (екі мүшені) Ньютон формуласы бойынша жіетеу ұқсастығында болып отырғанын байқаймыз.

Бұл ықтималдылықтарды график түріде кескіндеуге болады.Ол үшін абциссалар осіне м мәндерін,ординаталар осіне мәедерін салу керек.Әрбір сандарына сәйкес ұштарын қоссақ, көп бұрыш шығады.Мұны ықтималдықтардың үлестірімділік көп бұрышы деп те атайды.Бұл графиктер үшінші мысалда кетірілген( 7және 8 чертежді қара)

2-мысал.Нысананы көздеп тәуелсіз 10 рет оқ атылды.Әр қайсысының нысанаға тию ықтималдығы –ге тең болса,онда атылған тәуелсіз 10 оқтың нақты 4- нің нысанаға тиюі ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі:Есеп шарты бойынша сынау саны n=10.Әрбір сынаудағы оқиғаның пайда болу ықтималдығы p= және m=4. Демек ( 1) формула бойынша

p_n(m)=p₁₀(4)=⁴⁶=210⁴⁶=0,22760

3-мысал. 2 мысалы шартын пайдаланып, m=0,1,2,….,10 мәндеріне сәйкес ықтималдықтарды есептеп және олардың графигін сызу керек.

Шешуі:Іздеп отырған ықтималдықтарды,2- мысалдағыдай,(1) формула бойынша есептейміз,сонда

P₁₀(10)=¹⁰=0,0173.

P₁₀(1)=⁹=10*⁹=0,0867.

P₁₀(2)=²⁸=45*²⁸=0,19551.

P₁₀(3)=³⁷=120*³⁷=0,2602.

P₁₀(4)=⁴⁶=210*⁴⁶=0.2276.

P₁₀(5)=⁵⁵=252*⁵⁵=0,1366.

P₁₀(6)=⁶⁴=210*⁶⁴=0,0569.

P₁₀(7)=⁷³=120*⁷³=0,0163.

P₁₀(8)=⁸²=45*⁸²=0,0031.

P₁₀(9)=⁹=10*⁹=0,0003

P₁₀(10)=0,00002

Ықтималдықтар мәнін чертежге салу үшін абцсиссалар осіне m мәндерін,ординаталар осіне р_n(m) мәндерін саламыз(7- чертежді қара).Ал бұл чертеждегі р_n(m) мәндерінің ұштарын қоссақ,онда 8- чертежде көрсетілген ықтималдықтар үлестірімділігінің көпбұрышы шығыды.

4- мысал. Ұл баланың туу ықтималдығы-0,51 .Жаңа туған 100 нәрестенің дәл 50-нің ұл бала болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі:Шарт бойынша n=100,m=50,p=0,51,q=0,49.

• 
  Формула бойынша
  

Теңдіктің екі жағын да логарифмдейміз,сонда

(50) = lg + 50 lg 0,51+50 lg 0,49.

10-параграфтағы 3-мысалдың шешуін пайдалансақ ,

Lg lg 50! = 29,0038.

Ал

lg 0,51=-0,2924, lg 0,49=-0,3098,

lg =50(-0,3098)=-15,4900.

Демек,

lg (50)=29,0038 – 14,6200 – 15,4900 = -1,1062 = 2,8938

(50)=0,0783 0,078.

Сынау саны n үлкен болған сайын p_n(m)ықтималдықта (20.1)формуласымен есептеу қиындай түседі. Сондықтан ғалымдар осы формула жарық көрісімен-ақ оған жуық формулаларды іздестіре бастаған.n жеткілікті үлкен болғанда,ал p мәні 0 мен 1-ге мейлінше жуық болмаған жағдайда (20.1) формула орнына төмендегі жуық формуланы пайдаланады.

(1)

Мұнда

• 
  Формуласымен p_n(m) ықтималдықтың жуық мәнін табу өте оңай.Ол үшін
  

Функциясының таблицасын пайдаланамыз (бұл таблица кітаптың соңында келтірілді).

функциясы симметриялы,яғни болғандықтан (9-чертеж),таблицада х тің тек оң мәндері ғана кетірілген.Сонымен,(1) формула

p(x)= (4)

түрінде жазылады.

Есеп шығару алгоритімі:

1.Берілген n,m,p мәндері бойынша (2)формуладан х) мәнін анықтаймыз.

2. ІІ таблица бойынша х мәніне сәйкес мәнін табамыз.

3.х) мәнін (4) формулаға қойып,p(x) мәнін анықтаймыз. Бұл p_n(m)-нің жуық мәні болады.

1-мысал.20. 3-мысалда берілген n=10, p= , m=0,1,2,…,10 мәндері бойынша биномдық ықтималдықтың жуық мәнін (4) формуласы бойынша есептеу керек.

Шешеуі.1. Алдымен m=4 болғандағы ықтималдықтың мәнін анықтайық.Қалғандары осы сияқты табылады.

=

m	m-np	=(m-np)
0	-	-2,236	0,0337	0,0226	0,0173
1	-	-1,566	0,1170	0,0785	0,0867
2	-	-0,895	0,2670	0,1894	0,1951
3	-	-0,224	0,3891	0,2611	0,2601
4		0,447	0,3605	0,2418	0,2276
5		1,118	0,2135	0,1433	0,1366
6		1,789	0,0806	0,0541	0,0569
7		2,460	0,0194	0,0130	0,0163
8		3,131	0,0030	0,0020	0,0031
9		3,802	0,0003	0,0002	0,0003
10		4,471	0,000006	0,000005	0,000020

2. II таблицадан .

3.

m-нің қалған мәндеріндегі ықтималдылықтарды да осылайша есептеу қиын емес. (6-таблицаға қара)

2-мысал. Ұл баланың туу ықтималдығы 0,51. Жаңа туған 100 нәрестенің 50-і ұл болу ықтималдығын анықтау керек (20.4-есепті қара).

Шешуі. Шарты бойынша n=100, m=50, p=0,51,q=0,49. Бернулли формуласы бойынша

P₁₀₀(50)=C₁₀₀⁵⁰(0,51)⁵⁰(0,49)⁵⁰.

Мұны есептеуге көп уақыт кететінін көрдік. Сондықтан ықтималдықты (4) формула бойынша есептейміз:

• 
  X==-.2
  

• 
  P(x)=
  

Е С К Е Р Т У.Бұл (4) формуланың өзіндік мағынасы да бар. Мұны, х үздіксіз болғанда, Гаусстың қалыпты (нормаль) заңы немесе қателер заңы деп те атайды. Өйткені жіберілген кездейсоқ қателер осы заң арқылы сипатталады. Бұл заң көптеген кездейсоқ құбылыстардың математикалық модель қызметін атқарады, сондықтан оның практикалық та, теориялық та мәні зор.

ЖАТТЫҒУЛАР

• 
  Кез келген бір семьядағы балалар саны 8.Ұл бала мен қыз баланың туу ықтималдығы бірдей деп ұйғарылғанда, сол семьядағы балалардың:а) дәл 3-нің қыз бала,ә) дәл 5-нің ұл бала болу ықтималдығын анықтаңыз.
  
• 
  Ойын кубигі 10 рет лақтырылған. 5 ұпайдың дәл 3 рет шығу ықтималдығын анықтаңыз.
  
• 
  Бір заем облигациясының ұту ықтималдығы 0,20-ға тең.8 облигациядан 5-нің ұту ықтималдығы неге тең?
  
• 
  Қабілетті бірдей екі ойыншы шахмат ойнады.Олардың біреуінің 6 партиядан 4-уін ұту ықтималдығы 5 партиядан 3-уін ұту ықтималдығын артық па әлде кем бе?
  
• 
  Институттың бірінші курсына 5 студент қабылданды. Ұл балалардың туу ықтималдығы 0,51 болғанда, қабылданған балалардың 260-ының қыз бала болу ықтималдығы неге тең?
  
• 
  Автоматтық станокта стандарт деталь дайындау ықтималдығы 0,90. Дайындалған 400 детальдың 370-інің стандарт болу ықтималдығын анықтаңыз.
  
• 
  Монет 1000 рет лақтырылғанда, тиынжағымен 520 рет түсу ықтималдығын анықтаңыз.
  

Енді р_n(m) ықтималдығын аргументі mбүтін сан болатын функция деп қарастырайық. Сөйтіп, m-нің артуына байланысты р_n(m) қалай өзгеретінін анықтайық. 20,3 мысалға зер салсақ, р_n(m) функциясы аргумент m артқанда m-нің белгілі бір мәніне дейін өсіп, максимум (ең үлкен ) мәнін қабылдайды да, m-нің қалған мәндерінде р_n(m) мәні кеміп отырады. р_n(m)-нің ең үлкен мәніне сәйкес келетін m мәнін м о д а (модаль сан) немесе ең ықтималды сан деп атайды. Бұл мәнді m_e деп белгілейік. Енді, осы ең ықтималды сан m_e –ні анықтаудың жалпы формуласын табайық. Ол үшін ең үлкен ықтималдықты р_n(m) деп ұйғарайық та, мұның алдындағы . р_n(m-1) мен кейінгі . р_n(m+1) ықтималдылықтарды алайық. Сонымен,

р_n(m) р_n(m-1)

р_n(m) р_n(m+1)

Бұлардың әрқайсысын жеке-жеке қарастырайық, сонда

= = =

Екінші теңсіздіктен шығатыны:

===

Бұдан m шығады.

(1)

Np+p=np+(1-q)=(np-q)+1.

Сонымен, (1) теңсіздіктің оң жақ бөлігі сол жақ бөлігінен бір бірлікке артық. m-нің np-q және np+1 бүтін мәндерінде

,

Яғни, екі ықтималдықтың да мәндері ең үлкен болады.Ал, не сандары бөлшек болса, онда айырмасы бірге тең екі бөлшек шығады, бірақ m мәні бүтін сан болғандықтан, ең ықтималды сан біреу ғана болады. Сонымен, (m) функциясының -ге байланысты өзгеруін толық айқындадық деуге болады, яғни m мәні np-q- дан кем болғанға дейін мәні артады, одан кейін m-нің келесі мәнінде бұл функция ең үлкен мәнін қабылдайды, сөйтіп, m- нің np+p –ден артық мәндерінде кемиді.

(2)

Ал, np-q не (np+p) бүтін сан болса, онда

(3)

1-мысал. Өткен 21-параграфтағы 1- мысалдың берілгені бойынша ең ықтималды сан мәнін анықтау керек.

=[np+p]=[3]=3.

Бұған сәйкес ықтималдық

Шынында да, бұл ықтималдық қалған ықтималдылықтардың бәрінен де үлкен.

1.21.1 жаттығу шарты бойынша ең ықтималды сан ні анықтаңыз.

2.21.6 жаттығуда берілген мәліметтерді пайдаланып ең ықтималды сан m-ді анықтаңыз.

3.Жарамсыз деталь дайындау ықтималдығы p=0.05.=63 болатын партияда неше деталь бар?

4.126 рет санау жүргізгенде, А оқиғасының пайда болуының ең ықтималды саны 63 болса, әрбір санаудың ықтималдығы неге тең?

БИНОМДЫҚ ЫҚТИМАЛДЫЛЫҚТАР ҚОСЫНДЫСЫН ЕСЕПТЕУ

Осы уақытқа дейін сынауды n қайталағанда оқиғаның дәл m рет пайда болу ықтималдығын есептедік. Бұған қарағанда, оқиғаның реттен рет пайда болғанға дейінгі ықтималдықты анықтаудың практикалық мәні зор. Мұның дербес түрі, оқиғаның кемінде бір рет пайда болу ықтималдығын анықтау жолы бізге белгілі. Ол:

(1)

Оқиғаның реттен рет пайда болғанға дейінгі, яғни ..., мәндеріне сәйкес ықтималдық мына

,немесе

Сондай-ақ оқиғаның қайталау саны -ден кем болмай және -ден артық болмағандығы ықтималдығы сәйкес

= (3)

Және

Тең.Әрине, (3) формуладағы саны 0-ге жуық болса, онда (20.2)формуланы пайдаланып табамыз:

Өйткені
Ал (4) формулада саны n –ге жуық болса, оны былай жазамыз:

. (6)

• 
  =1- ()=.
  

Б)
B)

Бұл келтірілген мысалда n мәні аз болып келді. Ал практикада n өте үлкен сан болу жағдайы жиі кездеседі. Бұл жағдайда (2)формуламен есептеу көптеген амалдарды орындауды қажет етеді. Сондықтан ғалымдар ғасырлар бойы бұл қосындыны оңай жолмен тікелей есептейтін, мейілінше, жуық формула табуды іздестірді: Біз математикалық қатаң дәлелдеудің келтірмей-ақ, сондай жуық формула орнына Гаусстың қосынды (интегралдық) формуласын пайдаланамыз. Бұл формула n жеткілікті үлкен және р ноль мен тең болмағанда, (2) мәніне мейлінше жуықтайды.

Сонымен,
жазамыз.

Мұндағы,

,

, (8)

болады.

(9)

• 
  Ф(х) – тақ функция, яғни Ф(-х)= -Ф(х). Мысалы, Ф(-2,10)=-Ф(2,10)=-0,4821.
  
• 
  =Ф(+=0,50, =Ф(-=-0,50.
  
• 
  Х-тің кіші мәнінде-ақ Ф(х) функциясының мәні 0,50-ге өте шапшаң жуықтайды. Сондықтан таблицада х-тің 4-ке дейінгі ғана мәндері келтірілген.
  

Шешуі. Шарты бойынша: n=1000, m₁=470, m₂=520, p=0,51, q=0,49.

Ізделінетін ықтималдық

P₁₀₀₀(470≤ m≤520)=

Қосындыдағы 51 ықтималдықты жеке-жеке есептеп, олардың қосындысын табуға өте көп уақыт қажет. Сондықтан (7) формуланы пайдаланамыз:

=
=

Ф(х₁)Ф(-2,53)-Ф(2,53)-0,4943,

Ф(х₂)Ф(0,63)0,2357.

Сонда іздеген ықтималдығымыз мынаған тең болады:

P₁₀₀₀(470≤ m≤520)= Ф(х₂) - Ф(х₁)0,2357 - (-0,4943)0,7300.
Ықтималдығы берілген ықтималдықтан кем болмайтын оқиғаның кемінде бір рет пайда болуы үшін қажетті сынау санын анықтау

А оқиғасы ықтималдығын р(А)р деп, берілген ықтималдықты Р дейік. А оқиғасының кемінде бір рет пайда болу ықтималдығы берілген Р шамасынан кем болмау үшін неше рет сынау жүргізу керектігін анықтау болып отыр. А оқиғасының пайда болмау ықтималдығы

Р()1- р(А)1 – р.

Орындалынатын, бірақ әзір белгісіз сынау санын п дейік. Сонда п рет сынау жүргізілгенде А оқиғасының пайда болмау ықтималдығының

(1 – р)^п

болуы және А оқиғасының кемінде бір рет пайда болу ықтималдығы 1 – (1 – р)^п болатыны бұрын айтылған болатын-ды. Ал, есептің шартына сәйкес бұл ықтималдық Р-ден артық емес, яғни

1 – (1 – р)≤Р.

Теңсіздікті п-ге арнап шешеміз. Ол үшін екі жақ бөлігін де логарифмдесек,

n= (1)

болады. Бұл формуланың практикада маңызы зор.

Шешуі. Шарты бойынша: р=0,50, Р=0,90.

• 
  формула бойынша
  

сонымен, монетті лақтырғанда кемінде бір рет тиын жағымен түсу ықтималдығы 0,00-дан кем болмауы үшін, кем дегенде 3 рет лақтыру (сынау жүргізу) керек екен.

Жаттығулар

• 
  Егер бір семьядағы балалардың ұл болу ықтималдығы 0,51 болса, онда 8 баласы бар семьяда: а) кемінде 7 ұл бала, ә) ұл баланың саны 2-ден артық болмау, б) ұл баланың саны 3-5 аралығында болу ықтималдығын анықтаңыз.
  
• 
  Шеберханада 10 мотор бар. Әрқайсысының белгілі бір уақыт аралығында үзіліссіз жұмыс істеу ықтималдығы – 0,80. Осы уақытта кемінде 9 мотордың үзіліссіз жұмыс істеу ықтималдығын анықтаңыз.
  
• 
  Ең жоғарғы сортты деталь дайындау ықтималдығы 0,90-ға тең. 10 детальдың кемінде 8-інің ең жоғарғы сортты болу ықтималдығын анықтаңыз.
  
• 
  Орудиядан атылған әрбір оқтың тию ықтималдығы – 0,40. 300 рет атылған оқтың: а) 120-дан 130 ретке дейінгі, ә) кемінде 100-інің, б) дөп тиетін оқтың саны 100-ден артық болмау ықтималдығын анықтаңыз.
  
• 
  Бір лотерея билетіне ұтыс шығу ықтималдығы – 0,20. Қолыңдағы 400 билеттің 70-тен 100 арасындағы санының ұту ықтималдығын анықтаңыз.
  
• 
  Монетті 2000 рет лақтырғанда тиын жағымен 950-реттен 1020 ретке дейін түсу ықтималдығын анықтаңыз.
  
• 
  Атылған оқтың нысанаға тию ықтималдығы – 0,2. Олардың кемінде біреуінің тию ықтималдығы 0,90-нан кем болмауы үшін, семьяда неше бала болуы керек?
  

Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы сынау нәтижесі шектеулі сан рет және тең мүмкіндікті болатынына негізделеді. Сондықтан бұл анықтаманың қолданылу өрісі тар. Осы себепті ықтималдықтың жай есептерінен күрделі есептерін шешуге көшкенде, әсіресе, статистикалық құбылыстарды сипаттауға байланысты практикада қолданылатын мәселелерді шешкенде шамадан тыс көптеген қиыншылықтарды кездестіреміз. Өйткені, біріншіден, сынаудың мүмкін нәтижелері шектеулі шама болмауы мүмкін. Мысалы, қандай да бір тілдегі бір сөздің пайда болу ықтималдығын тапқанда, біз практика тұрғысынан шектеусіз жиынды кездестіреміз. Екіншіден, жүргізілген тәжірибе нәтижесін ылғи да тең ықтималды болады деу аса үлкен қиындық туғызады. Мысалы, ұл бала не қыз бала туу ықтималдығын анықтағанда симметрия және тең ықтималдыққа сүйеніп, қорытынды жасауға болмайтынын биологиялық статистика дәлелдейді (төмендегі мысалды қара).

Сонымен, құбылыстарды сипаттауға ықтималдықтың статистикалық анықтамасын қолданайық.

Статистикалық анықтама тәжірибені (сынауды) сан рет қайталап, нәтижелерін (оқиғаны) регистрациядан өткізуге (тізбесін жасауға) сүйенеді. Сынау көп жүргізілгенде оқиғаның бірнеше рет пайда болуы не бірнеше рет пайда болмауы мүмкін. Оқиғаның пайда болу (пайда болмау) санын бұдан былай жиілік немесе абсолюттік жиілік дейтін боламыз. Ал жиіліктің барлық сынау санына қатынасын салыстырмалы жиілік дейміз. Сонда сынаудың жалпы санын N десек, A оқиғаның қайыра қолданылу санын (жиілігін) M десек, онда A оқиғасының салыстырмалы жиілігі мынаған тең болады:

ƒ(А)=.

1-мысал. 1935 жылы Швецияда туған ұл баланың статистикалық мәліметтері алынды (7-таблицадан қара). Мұнда ұл баланың туу жиілігі 0,518 санына жуық өзгеріп (тұрақсызданып) отырған. Осы сияқты бақылау 1871 жылдан 1900 жылға дейінгі аралықта жүргізілген. Бұл жылдары 2,5 миллионнан астам туған балалардың жынысын есепке алғанда, ұл бала тууының салыстырмалы жиілігі 0,514 болған.

Сонымен, жоғарыда келтірілген мысалдан сынау саны мейлінше көп болса, салыстырмалы жиілік ƒ мәні тұрақтылық қалыпқа түсетінін байқаймыз. Екінші сөзбен айтқанда, кездейсоқ құбылыстарда қандай да объективті қасиеттер бар екендігі және оның тұрақтануға бейімділігі сезіледі. Бұл қасиет сынау саны (зерттеліп отырған мәселе көлемі) артқан сайын айқындала түседі, ол қасиет қандай да бір тұрақты шамамен (санмен) өлшенеді. Бұл шама бақылауға түскен құбылыстың объективті сандық сипаты болып табылады. Осы тұрақты шаманы (санды, мөлшерді) кездейсоқ оқиға А-ның ықтималдығы дейміз. Сөйтіп, оны бұрынғыша, р(А) арқылы белгілейміз. Осылайша анықталған кездейсоқ оқиға ықтималдығын статистикалық ықтималдық деп атаймыз.

Оқушылардың назарын аударатын бір мәселе – статистикалық ықтималдықтың сан мәнінің белгісіз болуы. Әдетте, сынау саны үлкен (көп) болғанда ықтималдық

Оқушылардың назарын аударатын бір нәрсе - статистикалық ықтималдықтың сан мәнінінің белшісіз болуы.Әдетте, сынау саны үлкен (көп) болғанда ықтималдық мәніне не А-ның салыстырмалы жиілігінің өзі алынады,не осы салыстырмалы жиілікке жуық сан алынады.Ондай санға,мысалы,жеткілікті үлкен бірнеше сериядан алынған салыстырмалы жиіліктің арифметикалық ортасы алынады. Бұл анықтаманың іс жүзінде орындалатын түрлі зерттеулерде ерекше мәні бар, өйткені бас жиынды зерттеуге мүмкіндік болмай қалады,сондықтан оның бөлігін (іріктемені) зерттеуге мәжбүр боламыз. Сөйтіп, іріктемені зерттеу нәтижесінде кездейсоқ оқиғаның салыстырмалы жиілігін анықтаймыз.Осы іріктемедегі салыстырмалы жиілік арқылы ықтималдықтың сан мәнін бағалаймыз,бұл - қарастырып отырған құбылыстың сандық сипаттамасы болып табылады.Сонымен қатар бұл мән экспериментальдық жиіліктің ықтималдықтан қаншалықты алшақ ауытқитынын анықтауға әкеліп тірейді.Осы мәселені шешу барлық статистикалық зерттеудің бірден бір түйінді мәселесі болып табылатынын есте ұстаған жөн.

Ықтималдықтың ілгеріде дәлелденген қасиеттері ықтималдықты статистика тұрғысынан анықтаған да орындалады,яғни

1)ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең,

2)мүмкін емес оқиға ықтималдығы нөлге тең,

3)қосу теоремасы,

4)көбейту теоремасы,

5)қосу мен көбейту теоремасына негізделген биномдық үлестірімдік,

7)ыөтималдылықтар қосындысының 1-ге тең болуы, яғни _________________

Егер осы аталған қасиеттер пайдаланылып шешілетін бірнеше мысалдар келтірейік.Бұл мысалдарды шығару тәсілдерінің ықтималдықтың классикалық анықтамасы пайдаланылып шығарылған есептің тәсілдеріне ұқсас болатынын байқау қиын емес.

1-мысал.8- таблицада келтірілген мәліметтерді пайдаланып:а) а(a=20) жастағы адамның b(b=50,b=70,b=90) жасқа дейін өмір сүру ықтималдығын анықтау керек.ә) а=20 жастағы адамның b(b=30,b=50,b=70,b=90) жасқа жетпей дүние салу ықтималдығын анықтау керек.б)ері a(a=30)жаста, әйелі b(b=20) жаста.Екеуі бірге c(c=20,c=40,c=50) жыл өмір сүру ықтималдығын анықтау керек.в)Ері a(a=23) жаста, әйелі b(b=18 жаста, олар бірге c(c=45) жыл өмір сүру ықтималдығын аныөтау керек.г)Ері a(a=50) жаста, әйелі b(b=45) жаста ұлы с(c=25) жаста.Үшеуінің бірге d(d=20,d=30,d=40) жыл өмәр сүру ықтималдығын аныөтау керек.д)ері а(а=40) жаста, әйелі b(b=35). жаста, екеуі бірге с(с =70,с=80) жасөа дейін өмір сүре алмау ықтималдығын есептеу керек.е) ері a=40 жаста,әйелі b=30 жаста,с(c=30,c=40) жылдан соң кемінде біреуі өлмеуі ыөтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Жақша ішіндегі мәліметтердің біреуі үшін осы есепті шығарамыз,қалғадарды шығаруды оқушыларға хүктейміз.Тексеру жеңіл болу үшін олардың жауабын келтіріп,тиісті анализдерді пайдаланамызү

а)8-таблицаға қарағанда, адамгың жасы ұлғайған сайын олардың саны азайып отыр, ол - әрә заңды, әрі түсінікті де.а жастағы адамның b жасқа дейін өмір сүруін А оқиғасы дейік,бұлардың саны m (b)

болсын,а жастағы адамдар саны n (a) дейік.Сонда А оқиғасының ықтималдығы

P(A)=m(b)/n(a)

таблица бойынша а =20 болғанда, n(a)=96061

b=50 болганда, m(b)=72795

Сонда p(A)=72795/96061=0,758 не 75,8 % болады.

Сонымен, 20 жастағы адамдардың орта есеппен 75,8% елу жасқа дейін, 39,5% -і жетпіс жасқа дейін, 1,3%- і тоқсан жасқа дейін өмір сүреді екен.(1) формуладан b=a болғанда p(A)=1,бұл факт адамның b жасқа дейңн өмір сүретінінің ақиқаттығын көрсетеді.

ә)белгілі бір жасқа дейін өмір сүруді А оқиғасы десек, онда ол жасқа дейін өмір сүрмеуі қарама қарсы А оқиғасы болады.а=20,b=50 десек,(13,6) формула бойынша

p(A)=1-p(A)=1-m(b)/n(a)=n(a)-m(b)/n(a)=96061-72795/96061=23266/96061=0,42 не 24,2%.

Сонда 20 жастағы адамдардың орта есеппен 24,2%уі 50жасқа жетпей дүние салатынын байқаймыз,яғни дүние салу ықтималдығы 24,2%.Ал осы 20 жастағы адамдардың 30 жасқа жетпей 6,6% -ы , 70 жасқа жетпей 61,5% - ы, 90 жасқа жетпей 98,7 %-ы дүние салатынын оңай есептеуге болады.

б)Ерінің а жастан a+c жасқа дейін өмір сүруін А оқиғасы, ал әйелінің b жастан b+c жасқа дейін өмір сүруін В оқиғасы дейік.Сонда екеуінің бірге өмір сүруі күрделі оқиға АВ болады.Бұлар бір - біріне тәуелсіз оқиғалар, сондықтан

p(AB)=p(A)p(B)=m(a+c)/n(a)*m(b+c)/n(b)=m(30+20)/n*(30)*m(20+20)/n*(20)=m(50)/n(30)*m(40)/n(20)=72795/89685*82277/96061=0,695 шығады.

Сонымен,екеуінің бірге өмір сүру ықтималдығы 0,695- ке тең,яғни осы көрсетілген жаста ерлі - зайыптылардың 69,5% - ы тағы да 20 жыл бірге өмір сүреді.Әрине,бұлардың жастары артқан сайын бірге өмір сүрушілер саны кеми түседі.Екеуі қосылғаннан бастап 40 жыл өмір сүру ықтималдығы 26%,ал 50жыл өмір сүру ықтималдығы 6,2% болатынын анықтаңыздар.

в)бұл мәселеде дәл б)пункттегі сияқты шешіледі.Бірақ,б)пунктінде келтірілген жасқа сәйкес жиіліктер шамасы таблицада көрсетілген болатын,ал бұған тиісті жиілік шамасы таблицада жоқ.Сондықтан интерполяциялау тәсілін қолданамыз.Ол үшін таблицада келтірілген он жыл ішіндегі әрбір жылдағы өлім бірдей деп аламыз.Сондықтан жұбайлардың бірге өмір сүру ықтималдығын анықтаудан бұрын n(23),n(18),m(23+45)=m(68),m(18+45)=m(63) мәндері неге тең болатынын табамыз.n(23)жиілік n(20)-n(30) аралығында,демек,мынау шығады.

n(23)=n(20)-n(20)-n(30)/n(10)*3=96061-96061-89685/10*3=96061-6376/10*3=96061-1912,8=94148,2=94148.

Мұны былайша да есептейді:

n(23)=n(30)+n(20)-n(300/10*7=94148

қалғандары да осылайша анықталады,сонда

m(18)=90960,

m(68)=42150

m(63)=52582

демек,

2)бұл жағдайда ұлының -c жастан c+d жасқа деәһін өмір сүруін С оқиғасы десек,онда мәселе үлкен А,В,С оқиғаларының бірге пайда болу ықтималдығын табуға келіп тіреледі.Демек,

p(ABC)=m(70)/n(50)*m(65)/n(45)*m(45)/n(25)=37977/72795*48410/77536*77536/92873=0,272.

қалғандарында осылайша анықтасақ,үшеуі бірге 30 жыл қмір сүру ықтималдығы 4,5%-тең,ал 40 жыл өмір сүру ықтималдығы 0,08% - ке тең болады.

д)ерінің өлуін А қарама қарсы оқиғасы,әйелінің өлуін қарама қарсы В оқиғасы десек, онда екеуінің бірге өмір сүрмеуі қарама қарсы АВ оқиғасы болады.Мұның ықтималдығы мынаған тең:

p(AB-)=p(A-)*p(B-)=(1-p(A)(1-p(B))=n(40)-m(70)/n(40)*n(35)-m(70)/n(35)=82277-37977/82277*85981-37977/85981=44300/82277*48004/85981=0,300

Ал ерлі зайпты адамдар бірге 80 жасқа дейін өмір сүрмеу ықтималдығы 69,5% болады.

е)кемінде біреуінің өлмеуін А оқиғасы дейік,онда оған қарама қарсы оқиға А екеуінің де өлуін көрсетеді.Олай болса,

p(A-)=n(40)-m(70)/n(40)*n(30)-m(60)/n(30)=82277-37977/82277*89685-58842/89685=44300/82277*30843/89685=0,185

Сонда іздеген ықтималдық ,яғни 30 жылдан кейін біреуінің өмір сүру ықтималдығы

p(A)=1-p(A-)=1-0,185=0,815 немесе 81,5%

Дәл осылайша есептесек 40 жылдан кейін кемінде біреуінің өмір сүру ықтималдығы 48% болатынын табу қиын емес.

2-мысал. 8-таблицаны пайдаланып,а(а=20,a=30,a=50,a=70,a=80)жастағы адамның ықтималды өмір сүруін анықтау керек.Ықтималды өмір сүру деп,қазіргі жасынан бастап келесі бір жасқа дейін өмір сүру ықтималдығы 1/2 болатын жасты түсінеміз.

Шешуі. Қандайда бір жасқа дейін өмір сүруін Аоқиғасы дейік,сонда сол жасқа дейін дүние салуы қарама қарсы А оқиғасы болады.

p(A)=1/2 болса,онда p(A-)=1/2 болады.

Қорытып айтқанда,ықтималды өмір сүру деп,қандай да бір жасқа дейін өмір сүру ықтималдығы сол жасқа дейін дүние салу ықтималдығына тең болатын (солай деп болжанатын) жасты айтуымызға болады.Мысалы,қауіпсіздендіру мекемелеріде осыны негізге алады.

Болжап отырған ізделінді жасымыз х болсын. Сонда

m(x)/n(a)=0,5яғни ,m(x)=0,5*n(a)

Енді х- тің мәнін 8- шы таблицаны пайдаланып табамыз.

a=20 болғанда m(x)=0,5 n(20)=48030,5.Таблицада бұл мән жоқ,сондықтан сызықты интерполякцияны орындаймыз.48030,5 саны 58842 мен 37977 арасында демек,осы санға сәйкес x жас 60 пен 70 арасында болады.Дәлірек айтқанда,

x=60+58842-48030,5/58842-37977*10=60+5,2=65,2=65 жас.

Осы тәсілді қолданып,жасы a=30,a=50,a=70,a=80 деп алып есептегенде, ықтималды өмір сүру жасының сәйкес 67,77,79,86 сандарына тең болатынын табу қиын емес.Мұндай есептеулерді іс жүзінде қауіпсіздік мекемелері тікелей пайдаланып отырады.

№26 Үлкен сандар заңы

Біздің назарымызды аудартып отырған мәселе процесс нәтижесінің кездейсоқтығы және оны болжайтын ережені ықтималдықтар териясының тудыруы.Сондықтан бұл теорияның практикада қолданылу әдістерін білген дұрыс.Осындай теориямен практиканы ұштастыратынн ықтималдылықтар теориясының саласы үлкен сандар заңы деп аталады.Үлкен сандар заңын сипаттайтын теоремалар ықтималдылықтар теориясының абстрактілі модельдері мен тәжірибе арасындағы байланысты көрсетеді.Сонымен қатар,үлкен сандар заңы сол тәжірибе нәтижесін болжауға мүмкіндік береді.Мұнда оқиғаның салыстырмалы жиілігі ықтималдықтан қандай да алдын ала берілген оң аз шамадан үлкен болмауын бірге жуық ықтималдық пен айту үшін жүргізілетін сынау саны қандай болатыны қарастырылады.Ал егер сынау саны бұрыннан мәлім болса,онда үлкен сандар заңы салыстырмалы жиіліктің әрбір сынаудағы ықтималдықтан ауытқуы - алдын ала берілген шектен артпауын бірге жуық ықтималдықпен айта алады.

Осы айтылғандардың барлығы да арифметикалық ортамен математикалық ортаның ауытқуына да тиісті болады.

Бұл айтылғандарды алдымен мынадай мысалдармен түсіндіріп көрейік.

Біздің жыл санауымыздан 4000 жыл бұрын Қытайда туған ұл балалр санының барлық туған балалар санына қатынасы жыл сайын да өзгермей, тұрақталып отырғаны байқалған.Сөйтіп,ол санды 1/2-ге тең деп алған.

Бұл сан Лаплас есептеуі бойынша Лондон,Петербург және Брюссель үшін 22/43 санына жуық, Париж үшін 25/49 санына жуық болған.СССР -де 1970 жылғы санақ бойынша,бұл сан 53/103 -ке тең болады.

Жоғарыдағы мысалдардан ұл балалардың туу жиілігінің математикалық ықтималдылығы 1/2 төңірегінде ауытқып отыратынын байқаймыз.Сонымен,көп жағдайда кездейсоқ оқиғаның қалыпты жиілігі болады және ықтималдықтың классикалық анықтамасы бар болса,бұл жиілік сол ықтималдық төңірегінде өзгеріп отырады.

Математикалық ықтималдықты классикалық анықтама арқылы айқындауға болатын жағдайда да статистикалық эксперименттер жүргізіп,жиілігін салыстыру арқылы да анықтауға болатынын байқаймыз.Осындай эксперименттерді көптеген ғалымдар жүргізген.Солардың ішінде монетті лақтырып, оның герб жағымен пайда болу жиілігін Бюффон және К.Пирсон орындаған тәжірибе қорытындылары таблицада келтіріліп отыр.

Бұл таблицадан тәжірибелер нәтижесі 1/2 ықтималдығына өте- мөте дәл жуықтайтын,яғни p(A) = f(A) болатынын көреміз.Сонымен, кездейсоқ оқиға (немесе кезэейсоқ шама) әрбір дербес жағдайда әр түрлі мәндерге ие болуы мүмкін,бірақ олардың саны аса көбейгенде белгілі бір заңға бағынатын болады.

Адам өзінің практикалық іс тәжірибесінде байқап жүрген бұл заңдылықтың математикалық тқжырымдамасын тұңғыш рет Я.Бернулли 1713 жылы берген.Оның тұжырымдамасы үлкен сандар заңының ең қарапйым түрі болатын.Оны былай айтуға болады.

Егер әрбір тәуелсіз сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты болып, ол p- ге тең болса,онда сынау саны n жеткілікт іүлкен болғанда р мен салыстырмалы жиілік f=m/n айырмасының абсолют шамасы мейілінше аз оң Е нен артық болмау ықтималдығын мейілінше бірге жуық ықтималдықпен қабылдаймыз,яғни

lim_n-р(|m/n-p|

Бернулли теоремасын дәлелдейміз.Айта кететін бір жайт осы заңның, яғни үлкен сандар заңының жалпы теоремасын тұжырымдаған ұлы орыс математигі П.Л.Чебышев болатын.