Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады

Ықтималдықтарды есептеу сынаудың жалпы саны мен оқиғаның пайда болуына қолайлы нәтижелер санын анықтауға келіп тіреледі. Бұларды тікелей есептеу көп жағдайда үлкен қиындыққа ұшыратады. Сондықтан да камбинаторика формулаларын пайдалануға мәжбүр болдық. Оның үстіне, практикада кездесетін оқиғалар күрделі болып келеді де, олардың ықтималдылығын табу үшін, ол оқиғаларды бірнеше қарапайым оқиғалардың қосындысы не көбейтіндісі түрінде жазып, солардың ықтималдығын анықтайды. Сондықтан да қарастырып отырған оқиға ықтималдығын екінші ықтималдылық арқылы табудың маңызы өте-мөте зор. Ол үшін негізінен ықтималдылықтарды қосу және көбейту теоремаларын пайдаланады. Енді алдымен қосу теоремасын, одан шығатын бірнеше салдарды қарастырайық.

Айталық, тең мүмкіндікті, үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлар саны n болсын. Олардың ішінде А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m болсын (бұлар В үшін қолайсыз). В оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m болсын ( бұлар үшін қолайсыз). Демек, бұлардың ықтималдылықтары

р(А+В)

Осымен теорема дәлелденді.

1-мысал. Жәшікте бірдей 20 шар бар. Оның 7-уі қызыл түсті, 8-і көк түсті, 5-уі ақ түсті. Жәшіктен қалаған бір шар алынады. Оның түсті ( не қызыл түсті, не көк түсті) шар болу ықтималдылығын анықтау керек.

Шешуі. Тең мүмкіндікті, үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлар саны n =20. Қызыл түсті шар шығуын В оқиғасы, түсті шар шығуын С оқиғасы десек, онда А үшін қолайлы жағдайлар m = 7, В үшін қолайлы жағдайлар m =8 болады. Сонда С оқиғасының болу ықтималдылығы

р(С) = р(А+В)=p(A)+p(A)=

2-мысал.Жәшікте бірдей 50 деталь (нәрсе) бар, оның 45-і жарамды, 5-уі жарамсыз. Контролер жәшіктен кез келген 10 детальды (іріктеме) алып тексереді. Егер осы алынған іріктеме ішінде жарамсыз деталь саны біреуден артық болмаса, онда жәшіктегі қалған детельдарды тексерместен жарамды деп қабылдайды. Бұлайша қабылдау ықтималдылығы неге тең?

Шешуі: Алынған 10 детальдың ішінде бірде-бір жарамсыз детель болмауы А оқиғасы болсын, тек бір жарамсыз деталь болуы В оқиғасы болсын. А және В оқиғалары үйлесімсіз. Олай болса,

р(А+В) =р(А)+р(В)

50 детельдан 10 детальды С тәсілмен аламыз, бұл сынаулар саны n болады, яғни . Енді р(А) мен р(В) анықтайық. А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m = өйткені алынған 10 детальдың ішінде бірде-бір жарамсыз деталь жоқ. Олай болса, бұл 10 детальды ылғи жарамды детальдардан тәсілмен аламыз. Бұдан

р(А)=

р(В)=

Ақырында,

р(А+В) =

р

Дәлелдеу: Мұны толық математикалық индукция әдісімен дәлелдейік. n =2 болғанда теореманың дұрыстығы өткен теоремада дәлелденді. Бұл теорема n= k үйлесімсіз А,А,...А оқиғалары үшін дұрыс болады дейік, яғни

р

Енді n= k+1 болғанда да теореманың дұрыстығын дәлелдейміз.

р

(3) теңдікті ескерсек, теореманың n= k+1 үшін де дұрыс екендігін көреміз. Олай болса, теорема n-нің кез келген мәні үшін де дұрыс.

Егер n = 3 болса, онда бұл теорема былай жазылады:

р(А+В+С) =р(А)+р(В)+р(С), (4)

мұнда А=

рне 27.8

1-салдар. Оқиғалардың толық тобын құрайтын қос-қостан үйлесімсіз сынау нәтижелері ықтималдылықтарының қосындысы бірге тең.

Дәлелдеуі: оқиғалары оқиғалардың толық тобын құрайды. Олай болса, бұлардың қосындысының ықтималдылығы бірге тең, өйткені сынау нәтижесінде бұл оқиғалардың әйтеуір біреуінің пайда болуы ақиқат. Сонымен,

р

Екінші жағынан, қосудың кеңейтілген теоремасы бойынша

1 = р (5)

Сонымен салдар дәлелденді.

2-салдар. Қарама-қарсы екі оқиға ықтималдылықтарының қосындысы бірге тең, яғни

р(А)+р(А) =1 (6)

Дәлелдеуі. Мұнын дәлелдемесі бірінші салдардан айқын көрініп тұр.Өйткені А+А оқиғасы ақиқат, сондықтан

Екінші жағынан, А мен А оқиғалары үйлесімсіз болғандықтан,

1 = р(А+А) =р(А)+р(А)

Бұдан А оқиғасына қарама-қарсы А оқиғасының ықтималдылығы бір санынан А оқиғасының ықтималдылығын шегергенге тең, яғни

Мұны бұдан былай

р(А) =р, р(А) =q деп белгілеген қолайлы. Сонда (6) бойынша

р+ q =1 (6)

түрінде жазылады. Бұдан р =1- q не q =1- р шығады.

4-мысал. Класта 20 бала бар. Олардың 4-уі үздік оқушы. Класс жетекшісі бір жұмысқа кез-келген 3 оқушыны шақырады. Сол шақырылған оқушылардың кемінде біреуінің үздік болу ықтималдылығын анықтау керек.

Шешуі: Шақырылған оқушылардың дәл үшеуі де үздік болмауы А оқиғасы болсын, сонда оған қарама-қарсы оқиға шақырылған оқушылардың кемінде біреуінің үздік болатының көрсетеді. 3 оқушыны 20 оқушының ішінен С тәсілмен шақыруға болады, яғни n =С тәсілмен шақырамыз. Сонда

р(А) =

Ал ізделінген ықтималдылық мәні

р(А) =1-р(А)=1-

Бұл мысалды екінші тәсілмен былай шешуге болады. Кемінде бір оқушының үздік болуы (А оқиға) дегенде не біреуі (А оқиға), не екеуі (А оқиға), не үшеуі (А оқиға) үздік деп түсінеміз. Бұл А,А,А, оқиғалар үйлесімсіз, сондықтан

р(А) =Р

Теңдәктін оң жақ бөлігіндегі ықтималдылықтарды есептеу үшін оқиғаларға сәйкес қолайлы жағдайлар саны табу керек. Алдымен оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m-ді есептейік.Бұл жағдайда шақырылған үш оқушының біреуі үздік те, қалған екуі нашар оқитындар. Ал үздік оқушыны ылғи үздік оқушылар арасынан С тәсілімен шақыра аламыз, ал қалған екеуін қалған 16 оқушыдан С тәсілімен шақыра аламыз. Бірақ әрбір үздік оқушыға сәйкес сан қалған оқушылар санымен комбиницияланып келеді, сондықтан

Олай болса,

Қалғандарын да осылай талдасақ, былай басталады:

Демек, іздеген ықтималдылық мынау:

1. Ақшалай-заттай лотореяның 1000 билеттен тұратын сериясына 120 ақшалай және 80 заттай ұтыстан келеді. Қолында бір лотореясы бар адамның заттай не ақшалай ұтыс ұту ықтималдылығы неге тең?

2. Кластағы 40 оқушының фамилияларының бас әріптері мынай болған: 5-уі Б-дан, 8-і К-дан, 4-уі М-нен және 6-уы С-дан басталған. Оқушылардың фамилияларының дауыссыз дыбыстан басталу ықтималдығын анықтаңыз.

3.Кластағы 40 оқушының фамилияларының 10-ы ашық дауысты дыбыстан, қалғандары дауыссыз дыбыстан басталған. Кез келген 4 оқушы шақырылады. Осы оқушылардың кемінде екеуінің фамилиясы ашық дауысты дыбыс болу ықтималдылығын анықтаңыз.

4.Колодада 36 карта бар. Одан кез келген 3 карта суырып алынды. Ол карталардың кемінде біреуінің тұз болу ықтималдылығын анықтаңыз.

5. Нысана бір центрлік дөңгелектен және оны қоршай сызылған концентрлі үш шеңберден (сақинадан) құралған. Атылған оқтың центрлік дөңгелекке тию ықтималдылығы – 0,10, оны қоршаған сақиналарға тигізу ықтималдылығы сәйкес түрде: 0,12; 0,16; 0,20 сандарына тең. Атқыш бір рет оқ атқанда тимеу ықтималдылығын анықтаңыз.

6. Класта 25 оқушы бар. Олардың 15-і қыз балалар да, 10-ы ер балалар. Ата-аналар комитеті осы класқа театрдың 3 билетін бөлді. Театрға кемінде екі қыз баланың бару ықтималдылығы кемінде екі ер баланың бару ықтималдылығынан артық не кем болатынын анықтаңыз.

7. Кластағы оқушылар аттарының соңғы әріптерін жеке-жеке карточкаларға түсіргенде, 10-ы жіңішке дауыстыларға, 5- і ауыз жолды үнді дыбыстарға аяқталған болып шықты. Бұл карточкаларды әбден араластырып, ішінен үшеуін алғанда, кемінде екеуінің біркелкі дыбыстар: а) мұрын жолды үнді, ә) ауыз жолды үнді, б) жіңішке дауысты болу ықтималдылығын анықтаңыз.

Егер екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдылығын өзгертпесе, ондай екі оқиғаны тәуелсіз деп атайды.

1-мысал. А,А,М,М,М әріптері жеке-жеке берілген шардың бетіне жазылып, жәшікке салынған. Жәшіктен кез келген бір шарды алып, әріп таңбасын белгілеп алғаннан кейін, ол шарды жәшікке қайтадан салады. Одан соң екіншісін алып, сынауларды жүргізе береміз.

Жәшіктен бірінші алынған шардан М әрпі болуы В оқиғасы болсын (онда В оқиғасы жәшіктен М емес әріптің, яғни А әрпінің шығуы болады), екінші рет алынған шардағы әріптің А болуы А оқиғасы болсын (онда А оқиғасы А емес әріптің, яғни М әрпінің шығуы болады). Бірінші алынған әріп таңбасы белгіленгенен кейін, ол әріп жәшікке қайта салынған себепті, әріп екінші рет алынғанда да жәшіктегі әріптер (шарлар) саны бастапқыдай болады. Сондықтан А оқиғасының ықтималдығы оған дейін жәшіктен М әрпі (В оқиғасы) әлде А әріпі алынса да (В оқиғасы) өзгермейді және ол 2/5 – ге тең. Бұдан В оқиғасының пайда болуының А оқиғасының ықтималдығына әсері болмайтынын байқаймыз. Демек, А және В оқиғалары бір-біріне тәуелсіз.

Егер екі оқиғаның біреуінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығы өзгеретін болса, ондай екі оқиғаны тәуелді оқиғалар деп атайды.

2-мысал. Тәжірибе шарты 1-мысалдағыдай, бірақ бірінші алынған әріп жәшікке қайта салынбайды. Бұл жағдайда екінші ретте А әрпінің (А оқиғасы) пайда болу ықтималдығы оның алдында М әрпінің (В оқиғасы) не А әрпінің (В оқиғасы) шығуына байланысты. Егер бірінші сынауда М әрпі шықса, онда екінші сынауда А әрпінің шығу ықтималдығы 2/4 болады. Егер бірінші сынауда В оқиғасы пайда болса (А әрпі шықса), онда екінші ретте де А әрпінің шығу (А оқиға) ықтималдығы 1/4 –ге тең. Осы сияқты, істі бірінші сынауда М әрпі (В оқиғасы) не А әрпі (В оқиғасы) шықты десек, онда екінші сынауда М әрпінің (А оқиғасы) пайда болу ықтималдығы сәйкес 2/4 және ¾ сандарына тең. Екінші сөзбен айтқанда, А және В оқиғалары – тәуелді оқиғалар, өйткені В оқиғасының пайда болуы келесі сынауда А оқиғасының пайда болу ықтималдығын өзгертіп отыр.

Егер А оқиғасының ықтималдығын есептегенде оның пайда болуына комплекс шарттан өзге ешқандай шек қойылмаса, яғни тәуелсіз оқиғалар қарастырылатын болса, онда р(А) ықтималдығын шартсыз ықтималдық деп атайды.Алайда А оқиғасының ықтималдығын есептегенде комплекс шарттан басқа да қосымша шек қойылуы мүмкін, ол шек: А оқиғасының пайда болуы В оқиғасының пайда болуына байланысты, яғни А оқиғасының пайда болу ықтималдығы В оқиғасының пайда болуына не пайда болмауына байланысты өзгеріп отырады. Мұндай ықтималдықты шартты ықтималдық деп атайды.

Шартты ықтималдықты былай белгілейді:

(A)-B оқиғасы орындалғанда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы. оқиғалары орындалғанда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы.

Жоғарыдағыларда айтылғандарға сүйене отырып, А және В оқиғаларының тәуелсіздігін

(А)= p(A) (1)

түрінде жазуға болады.

1-мысалдан

p(A)=(А)=.2/5

p(A)=(А)=2/5

p()=()=3/5

p(=()=3/5

Егер А және В оқиғалары бір біріне тәуелді болса, онда

(А)≠ p(A).

2-мысалдын

(А)=2/4=1/ 2=p(A).=2/5

Сондай-ақ

(А)=1/4≠ p(A) =2/5

()=≠ р() =,

()=.

Шартты ықтималдықтардың қасиеттерін анықтайық:

• 
  Шартты ықтималдық мәні де, шартсыз ықтималдық мәні сияқты, ноль мен бір аралығында болады, яғни 0≤(А)≤1.
  
• 
  (U)=1.
  
• 
  (V)=0.
  
• 
  ⊂ болса, онда .
  
• 
  Егер = болса, онда .
  
• 
  Егер ,,…, оқиғалары қос қостан үйлесімсіз болса, яғни және …+ болса, онда (А)=….
  
• 
  A мен қарама-қарсы оқиғалар болса, онда
  

Бұлардың дәлелдеуі 13-параграфта көрсетілгенге ұқсас. Сондықтан оны дәлелдеуді оқырмандарың өздеріне тапсырамыз.

3-мысал. Екі ойын кубы лақтырылған (§4.5-мысалды қара). Егер ұпайлардың қосындысы тақ сан екені белгілі болса, келесі сынауда ұпайлардың қосындысы 7 болу ықтималдығы неге тең болмақ?¹

Шешуі. Екі ойын клубын лақтырғанда үстіне қарай түсетін ұпай сандарының қалай комбинацияланатыны туралы 1-табицадан қараңыз. Ұпайлардың қосындысы 7 болатын А оқиғасы десек, ұпайлардың қосындысы тақ сан болатынын В оқиғасы дейік. Есеп шарты бойынша В оқиғасы орындалған, яғни тақ санды ұпайлардың бірі пайда болған. Бұлардың саны 18-ге тең болатын таблицадан байқау қиын емес, ал бұл сан тәжірибе шартындағы талапқа сай барлық тең мүмкіндікті жағдайлар санына тең. Бұлардың ішінде А оқиғасына қолайлы жағдайлар санына тең. Бұлардың ішінде А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны 6-ға тең. Сондықтан

(А)=

_________________

Ал, шартсыз ықтималдық мәні

р(А)=

4-мысалы. Кластағы 25 оқушының 5-уі үздік оқиды, 15-і спортшы. Үздік оқушылардың бәрі де спортшылар. Мектепке оқу ісін меңгеруші бір жолы спортшылардың ішінен кез келген біреуін шақырады. Келген оқушының үздік болу ықтималдығын анықтау керек.

р_В (А)=

Бұл келтірілген мысалдардан А және В оқиғаларының бірден пайда болатынын байқаймыз, мәселен үшінші мысалда 7 саны әрі тақ (АВ оқиғасы), төртінші мысалда үздік оқушы әрі спортшы (АВ оқиғасы) болып отыр. Содан бірден пайда болған АВ оқиғасына қолайлы жағдайлар саны үшінші мысалда 7-ге, төртінші мысалда 5-ке тең, осыларға сәйкес шартсыз ықтималдық р(АВ) сәйкес сандарына тең. Ал В оқиғасының шартсыз ықтималдығы үшінші мысалда -ке тең.

Сонымен, бұл мысалдардан жалпы қортынды жасасақ, онда

р(А)=

Бұдан

шығады. Енді көбейту теоремасын келтіріп, дәлелдемесін берейік.