Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады
§18. Ықтималдықтардың толық (орта) формуласы
жүктеу/скачать 1,8 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- ʂ19. БАЙЕС ФОРМУЛАСЫ
| §18. Ықтималдықтардың толық (орта) формуласы
Күрделі оқиғалар ықтималдығын есептегенде ықтималдықтардың қосу және көбейту теоремаларын қатарынан жиі қолдануға тура келеді. Мұндай оқиғалардың ықтималдығын есептеу үшін формуланы қорытудан бұрын мынадай мәселеге тоқтап өтейік. Айталық H1, H2, …, Hn оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын болсын. Ал В оқиғасы осы оқиғалардың тек біреуімен ғана бірігіп орындалады дейік. Оның үстіне,  1), 2), …, n) және  (B),  (B) ықтималдықтары белгілі болсын. Осы берілгендер бойынша B оқиғасының ықтималдығын анықтауға бола ма және ол неге тең деген сұрау туады. Мұның жауабын ықтималдықтың толық формуласы береді.
Шынында,
B=B(H1+H2+…+ Hn)= BH1+BH2+…BHn. (1) H1,H2,…,Hn қос-қостан үйлесімсіз болғандықтан,В H1,ВH2,…,ВHn оқиғалары да қос-қостан үйлесімсіз. Олай болса,бұл оқиғаларға қосу теоремасын қолдануға болады. Сонда P(B)=P(BH1)+P(BH2)+…P(BHn) шығады.
Көбейту теоремасы бойынша  ,…n) болады.(1)
Демек,  (B)+…+
Немесе
 (2)
Жоғарыдағы берілгендері бойынша В-нің ықтималдығын осы(2) формуламен анықтайды. Бұл формуланы ықтималдықтардың толық (орта) формуласы деп атайды. Әдетте,H1,H2,…,Hn оқиғаларын гипотезалар (болжамдар) деп атайды. 1-мысал. Төрт V кластың әрқайсысында 25 қыз бала, 15 ер бала оқиды, үш VI кластың әрқайсысында 22қыз бала,18ер бала оқиды, үш VII кластың әрқайсысында 20 қыз бала,20 ер бала, оқиды. Мектеп директоры бір жұмыспен осылардың ішінен кез келген бір оқушыны шақырады. Шақырылған оқушының қыз бала болу ықтималдығын анықтау керек. Шешуі. Шақырылған оқушы V P(B)=P(H1)Ph1(B)+P(H2)Ph2(B)+P(H3)Ph3(B) болады.
Есептің шарты бойынша P (H1) = Өйткені оқушыны шақыру үшін алдымен он класс ішінен кездейсоқ бір класс, мысалы V кластың бірі,аталады,(H1оқиғасы орындалды, мұның ықтималдығы Ph2 (B) = Болатынын байқау қиын емес. Сонда іздеген ықтималдық мынау: P(B)=  +  +  = =0.065 не 56,5%
ʂ19. БАЙЕС ФОРМУЛАСЫ Осы уақытқа дейін қарастырып келген ықтималдықтар интуитивті түрде теориялық болжамдарға сүйеніп,тәжірибе жүргізілмей-ақ ,комплекс шарт жөніндегі білім( түсінік) негізінде анықталып келді. Тәжірибеге дейінгі  , ,…, гипотезалар (оқиғалар) ықтималдығы сәйкес түрде  ),  ), … ) ,болатын-ды.
Тәжірибе жүргізілді делік , соның нәтижесінде В оқиғасының пайда болғаны анықталады, енді осы В оқиғасының пайда болуына байланысты   гипотезалардың ықтималдығын қайта қарауға тура келеді. Яғни  ( ),  ),…, )ықтималдықтар мәнін анықтауға тіреледі. Бұл ықтималдықтарды анықтау үшін,көбейту теоремасы мен ықтималдықтардың толық формуласын пайдаланамыз. Тәуелді оқиғалар үшін кө ы бойынша В оқиғасы мен   гипотезаларының бірге пайда болу ықтималдығы  (формуланы қара) мынаған тең:
 = = . (1)
Бұдан
 (Hi)= (2)
шығады. Бұл формулаға толық ықтималдық формуласынан  (3)
шығады. Осы (3) формуланы Байес формуласы деп айтады. 1-мысал. Өткен параграфтағы 1-мысалға қайта оралайық. Енді мәселені басқаша қояйық: мектеп директорының кез келген бір кластан шақырған оқушының қыз бала болуы Шешуі. Есептің шарты бойынша p  p p
  , 
Байес формуласы бойынша 
шығады. Қалғандарын да осылай анықтауға болады,сонда қыз баланың VI кластан шақырылу ықтималдығы 
VII кластан шақыру ықтималдығы 
  ықтималдықтары тәжірибе жүргізілгеннен кейінгі (яғни апостериорлық) ықтималдықтар болып отыр.Сондықтан да көп жағдайда Байес формуласы апостериорлық ықтималдықтарды анықтау формуласы деп аталады.Бұл формула ғылым және техника салаларында,мысалы,артиллерияда,лингвистикада т. т. қолданып жүр.
2-мысал. Үш ауданның мектептерін биылғы оқу жылында 2000 оқушы бітірді.Олардың 40  ауданында,35 ауданында,қалған 25 бітірді.Мектепті бітірген оқушылардың математикалық қабілеті бірдей емес.Кейбіреулері математикадан нашар болғанымен,басқа пәндерден жақсы. Оқушылардың осындай профессионалдық қабілетін ескеріп математикадан нашар болғанымен, қосымша консультациялар өткізіліп, кейбіреулерінің бағасы үштік балға дейін көтерілді.Мұндайлар  ауданында осы ауданда бітірген оқушылардың 2 ауданында 1,5 1 - ін құрайды.Осы бітірген 2000 оқушының кез келген біреуін шақырып сұрағанымызда: а) мұның математикадан білімі нашар оқушы болу ықтималдығы неге тең?
Шешуі. Шақырылған оқушының математикадан нашар оқушы болу В оқиғасы болсын,оның ауданынан болуы оқиғасы, -ден болуы -   -тен болуы  оқиғасы болсын.Есептің шарты бойынша
p   
Бұл мәләметтерді пайдаланып, бірінші сұраққа жауап береміз: a)   ә) Енді екінші сұраққа жауап берейік.Барлық оқушылар кез келген бір оқушыны шақырып оның математикадан нашар болуын тексергенімізге дейінгі,бұл оқушының  аудандарында бітіру ықтималдығы сәйкес түрде 0.40; 0.35; 0.25 еді. Шақырылған оқушының математикадан нашар болып шығуы оқушылар жайында қосымша хабар болып отыр. Осы қосымша хабар бұл ықтималдықтарды өзгертеді. Бұл жаңа ықтималдықтар
( ) =  = =0.508,
)= =  =0.33,
( )= =  =0.159.
Сонымен,көрнекі болу үшін бұл ықтималдықтарды былай тұжырымдайық:
жаттығулар 1. Заводта дайындалған бір типті детальдарды тексеру үшін бірінші цехтан 6 жәшік, екінші цехтан 4,үшінші цехтан 2 барлығы 12 жәшік деталь алынды. Бірінші цехтан алынған әрбір жәшіктегі 18 деталь I сортты, 5 деталь II сортты, 2 деталь III сортты, екінші цехтан алынған әрбір жәшікте I сорттан 20 деталь, II сорттан - 4, III сорттан 1 деталь,ал үшінші цехтан алынған әрбір жәшікте I сорттан 22 деталь, II сорттан 3, III сорттан 0 деталь бар.Тексеруге әкелгенде,жәшіктер араласып кеткендіетен,қай жәшік қай цехтан келгені белгісіз болды.Енді кез келген бір жәшіктен бір деталь алынады.Осы алынған детальдың:а) I сорты,ә) II сорты,б) IIIсорт болу ықтималдығын анықтаңыз. 2.1-есеп шартында айтылған оқушының емтихан тапсырғаны мәлім; енді мыналарды анықтаңыз:оның а) бүтін сандарға берілген есепті шығару ықтималдығы неге тең? Ә) ондық бөлшектерге берілген,б)жай бөлшектерге берілген есептерді шығару ықтималдығы неге тең? 3. 3- есеп шартын пайдаланып,мына есепті шығарамыз: алыгған детальдың I сорттан болғаны анықталды, оның а) бірінші цехта,ә) екәншә цехта, б) үшінші цехта дайындалу ықтималдығын анықтаңыз. Сондай ақ детальдың II, III сорт екендігі анықталған болса,оның бірінші,екінші,үшінші цехта дайындалу ықтималдығы неге тең болатынын анықтаңыз.
жүктеу/скачать 1,8 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| |||||||||||||||
қиғасы),VI(
оқиғасы),VII(
,
).Енді сол кластан кездейсоқ шақырылған оқушының қыз бала болуы(B оқиғасы) ықтималдығы 
ке тең. Осы сияқты, P(H2)=
,
, Ph3 (B) = 
, 
анықталды дейік.Енді сол шақырылған қыз баланың V(VI,VII) класс оқушысы болу ықтималдығын анықтау керек.
=0,40 p
=0,35 p
=0,25 