2-Анықтама. a санын X={Xn} тізбегінің шегі деп атайды, егер кез келген барынша аз саны үшін N нөмірі табылып n>N мәндері үшін Xn -нің барлық мәндері төмендегі теңсіздікті қанағаттандырса:
(14)
бұл фактіні былай жазады:
(15)
Бұл анықтаманы басқаша былай айтуға болады: a саны X={Xn} тізбегінің шегі болады, егер оның мәні белгілі бір орыннан бастап a санынан өте аз шамаға өзгешеленсе.
Мұндағы N нөмірінің санын қалай таңдап алуымызға байланысты екенін білу өте маңызды. саны азайған сайын оған сәйкес N=Nε нөмірі жалпы алғанда өседі. | xn - a| < ε теңсіздігінен -ε n-a<ε немесе a-ε
Егер а, а+ε, а-ε сандарын {xn} айнымалысының мәндерін нүктелер арқылы сандық жазықтыққа кескіндесек (4 сурет), онда біз сан тізбегі шегінің айқын геометриялық ұғымын аламыз. Центрі a нүктесінде болатын қандай да бір өте аз (ұзындығы 2ε) кесіндісін алсақ та, xn -нің барлық нүктелері белгілі бір нөмірден бастап осы кесіндінің ішінде жатады (кесіндінің сыртында өте аз мөлшердегі нүктелер болуы мүмкін)
1-Анықтама. Шегі нөлге ұмтылатын сандық тізбек {xn} шексіз аз шама деп аталады. Егер анықтамадағы сандық тізбектің шегі a=0 болса, онда теңсіздігі төмендегі түрге келеді (16)
(16)
( үшін). Сонымен жоғарыда берілген шексіз аз шаманың анықтамасын «шек» атауын қолданбай-ақ беруге болады. Айнымалыны (сан тізбегін) шексіз аз дейді, егер ол абсолют шамасы бойынша алдын ала берілген барынша аз ε >0 санынан кіші болса.
Бізге {xn} және {yn} сан тізбектері берілсе (17) және (18)
x1, x2, x3, …, xn,
(17)
y1, y2, y3, …, yn
(18)
онда олардың қосындысы {xn+yn} төмендегідей тізбек болады:
x1+y1; x2+y2; …; xn+yn; …
(19)
2.2 Шексіз аз және шексіз үлкен шамалардың қасиеттері Теорема 1. Кез келген шектелген санмен шексіз аз шамалардың қосындысы да шексіз аз шама болады.
Дәлелдеуі: Бізге шексіз аз {xn} және {yn} тізбектері берілген болсын. Анықтама бойынша, {xn} шексіз аз шамасы үшін барынша аз ε >0 санына сәйкес N' нөмірі табылып, n>N' мәндері үшін |xn|<ε/2 теңсіздігі орындалады.Дәл осыған ұқсас шексіз аз {yn} шамасы үшін N" нөмірі табылып, n>N"
мәндері үшін |yn|<ε/2 теңсіздігі орындалады.
Егер натурал сан N, N' және N" сандарының ең үлкені болса, онда болғанда жоғарыдағы екі теңсіздік бір мезгілде орындалады (20):
(20)
Осыған ұқсас төмендегі теореманы дәлелдеуге болады.
Теорема 2. Шектелген айнымалы мен шексіз аз шаманың көбейтіндісі шексіз аз шама болады.
Салдар. Тұрақты шамамен шексіз аз шаманың көбейтіндісі шексіз аз шама болады.
Теорема 3. Кез келген санды шексіз аз шамалардың көбейтіндісі де шексіз аз шама болады. Шексіз көп шамалар шексіз аз шамаларға кері шамалар болады.
Анықтама. {xn} айнымалысын шексіз үлкен дейді, егер ол абсолют шамасы бойынша алдын ала берілген M>0 санынан үлкен болса. Шексіз үлкен шамалардың мысалы ретінде оның жалпы мүшесі түрінде берілуін айтуға болады.
Егер {xn} айнымалысы шексіз үлкен болса және (ең болмағанда жеткілікті үлкен n үшін) анықталған белгісін сақтаса (+ немесе - ), онда сол таңбаларға қатысты айнымалы {xn} -нің шегі немесе деп жазады. немесе ; немесе
Теорема 4. Егер айнымалы {xn} шексіз үлкен болса, онда оған кері шама {an}={1/xn} шексіз аз шама болады.
Барынша аз ε>0 санын алайық. |xn| ∞, онда M=1/ε саны үшін N нөмірі табылып, n>N мәндері үшін |xn|>M=1/ε теңсіздігі орындалады.Онда сол n үшін {an}<ε болады, бұл жағдай теореманың дұрыстығын дәлелдейді. Осыған ұқсас оған кері теореманы дәлелдеуге болады.
Теорема 5. Егер айнымалы {xn} шексіз аз боса (нөлге айналмайтын), онда оған кері шама {an}={1/xn} шексіз үлкен болады.
1873 жылы голланд физигі Ван-дер-Ваальс егер молекулалардың қасиеттері жайлы көзқарастарды өзгертсе, яғни олардың өзара әрекеттесуіне және молекулалардың өлшемдеріне түзетулер енгізсек, онда практика мен теорияның нәтижелерінде үйлесімділікке жетуге болатынын көрсетті.
Нақты газдың бір молі үшін молекулалардың өзара тартылыс күшін ескерген кезде Менделеев –Клапейрон теңдеуі: (p+a/V2)V=RT
а түзетуі молекулалардың өзара тартылыс күшін ескереді. Бұл Менделеев-Клапейрон теңдеуіне енгізілген бірінші түзету.
Екінші түзету: (p+a/V2)(V-b)=RT – нақты газдар үшін Ван-дер-Ваальс теңдеуі.
Осы теңдеу теория мен практика арасында дұрыс үйлесімдік береді, мұның өзі осы күнгі техникалық деңгей үшін жеткіліксіз болады. Сондықтан практикада бұдан да күрделірек теңдеу пайдаланады.
V3-(b+RT/p)V2-aV/p-ab/p=0
Бұл теңдеудің графигі Ван-дер-Ваальстік изотермасы деп аталады.
АВ – қанықпаған бу.
ВС –сұйық фаза.
ВВ1 ,СС1 – метаорнықты күйлер.
В1С1 –табиғатта кездеспейтін күй.
Қисықтың жоғарғы өркеші аса қаныққан буға сәйкес келеді. Аса қаныққан буды нақты газды изотермалық түрде сығумен ғана емес, қаныққан буды салқындата отырып та алуға болады. Сондықтан аса қаныққан буды аса салқындатылған бу деп те атайды.
Изотерманың төменгі өркеші сұйықтың аса қыздырылған сұйық деп аталатын күйіне сәйкес келеді.
Кризистік күй деп тепе-теңдіктегі екі фазалық жүйенің екі фазасының да өздерінің қасиеттері бойынша тепе-тең болатын шектік күйін айтады.
Әр түрлі температураларға сәйкес келетін Ван-дер-Ваальс изотермалары аумағы.
Нақты газдарды қарастырғанда молекуланың өзіндік көлемін және молекула аралық өзара әсерлесу күшін ескеру керек.
Молекулалардың өзара әсерлесу күші – қысқа әсерлі олар м аз арақашықтықта пайда бола бастайды. Молекулалардың өзара әсер күші дегеніміз бұл тартылу күшінің қорытқы күші (олар үлкен арақашықтықта әсерлеседі) және тебілу күші (олар аз қашықтықта әсерлеседі) қашықтықта бұл күштер бір-бірін теңестіреді және . Сонымен - бұл молекулалар жылулық қозғалыста болмайтын, молекулалар арасыдағы тепе-теңдік арақашықтық .
Тұрақты тепе-теңдік күйде, болғанда, молекулалардың өзара әсерлесуінің потенциалдық энергиясы минималь болады.
мен арасындағы қатынас әртүрлі агрегаттық күйдің критерииі болып саналады.
тепе-теңдікте тұрған ( ) молекулаларды ажырату үшін тартылу күшіне қарсы істелінетін жұмысты анықтайды.
молекуланың жылулық қозғалысының бір еркіндік дәрежесіне келетін екі еселенген орташа энергиясын анықтайды.
болған кезде зат газ тәрізді күйінде болады, сонымен молекуланың жылулық қозғалысы молекуланың байланысуына қарсы әсер етеді (конденсация).
зат қатты күйдеболады, сонымен жылулық энергия молекуланы бір бірінен “жұлуға” жеткіліксіз.
зат сұйық күйде болады, сонымен молекуланың жылулық қозғалысының нәтижесінде молекулалар кеңістікте араласады, орындарымен алмасады, бірақ арақашықтықтан ары кетпейді.
