Жұмыс бағдарламасы «Математикалық логика және дискретті математика»
жүктеу/скачать 1,48 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Лекция та қ ырыбы
- Негізгі єдебиеттер:[1-5] Қосымша єдебиеттер:[6-7] Лекция тақырыбы
Лекция тақырыбы. Асимтоталық бағыт. Асимтоталық сызық. Түйіндес бағыт. Беттері түйіндес торлар Анықтама. М бетіндегі P(u,v) нүктесіндегі (du:dv) бағыты асимтоталық деп аталады, егер беттің нормальдық қисықтығы осы бағытта нөлге тең болса, яғни бағыттың асимтоталық болуының қажетті және жеткілікті шарты, егер мына шарт орындалса:  ,онда  - (1) асимтоталық бағытты есептеу.
Асимтоталық бағыттың беттің нүктелеріне сәйкес үш жағдайы болады: 1) беттің эллипстік нүктесінде асимтоталық бағыт болмайды және мына шарт орындалады: LN-M2>0. 2) ал, беттің гиперболалық нүктесінде екі асимтоталық бағыт болады: LN-M2<0. 3) ал, парболалық нүктесінде бір ғана асимтоталық бағыт болады: LN-M2=0. Анықтама. Беттегі қисық асимтоталық сызық деп аталады, егер оның бағыты әрбір нүктеде асимтоталық болса, яғни Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0 теңдеуі асимтоталық сызықтың дифференциалдық теңдеуі болып табылады. Егер бетте түзу орналасса, онда ол асимтоталық сызық болып табылады. Асимтоталық сызықтың келесі бір қасиетін көрсетелік. Беттің жанама жазықтағы асимтоталық сызықтың әрбір нүктесінде жанасушы жазықтық болып табылады.  =0 - жанама жазықтық. R=R(u,v). ;  - жанасушы жазықтық, өйткені асимтоталық сызықтың P нүктесінде қисықтық (К) нөлге тең болса, онда беттің жанама жазықтығы P нүктесінде жанасушы жазықтық болады, өйткені ол қисықтың жанамасы арқылы өтеді.
Егер қисығының қисықтығы P нүктесінде нөлден өзгеше болса, онда жанама жазықтық Беттің координаталық сызықтары u=const, v=const қандай шартта асимтоталық болатынын қарастырайық. Ол үшін u=const, v=const мәндерін ретімен асимтоталық теңдеуіне қоя отырып, мынадай шешімге келеміз. Координаталық торлардың асимтоталық болуы қажетті және жеткілікті шарт. Егер екінші квадраттық формуласының L және N коэффициенттері нөлге тең болса. Анықтама. М беті берілсін, P оның кез-келген нүктесі болсын.  (du:dv) және ( ) бағыттары беттегі P нүктесіндегі екі бағыт болсын.  бағыттары түйіндес деп аталады, егер оның сәйкес  түзулері P нүктесінде түйіндес болатын болса. Бұдан бағыттары түйіндес болуы үшін мына шарттың орындалуы қажетті және жеткілікті:  (2) немесе (d) мен () бағыттарының түйіндестігін қысқаша мына түрде жазуға болады:  =0 асимтоталық бағыттар өзара түйіндес болып табалады.
Лекция тақырыбы Беттің бас бағыты. Қисықтық сызық Беттегі (du:dv) бағыты бас бағыт деп аталады, егер беттің нормальдық қисықтығы осы бағытта экстремальдық мәнге ие болса. Осыдан беттің әрбір нүктесінде жалпы жағдайда екі бас
бағыты болады және олар өзара ортогональ және түйіндес болады, яғни олар мына шартты қанағаттандырады: I(d,)=Eduu+F(duv+udv)+Gdvv=0-(1)-ортогональдық шарт. II(d,)=Lduu+M(duv+udv)+Ndvv=0-(2)- түйіндес шарт. Осы теңдеулерден u,v- дан құтылсақ, мынау шығады:
Осы теңдік (du:dv) бағытының бас бағыт болуының қажетті және жеткілікті шарты болып табылады.Оны басқа түрде де, яғни, симметриялық формада жазуға болады: 
егер есептің номальдық қисықтығы бас бағытқа сәйкес келетін болса, онла ол бас қисықтық деп аталады. Анықтама. Беттегі сызық қисықтық сызығы деп аталады. Егер оның бағыты әрбір нүктесінде басбағыт болатын болса. Осыдан шығатыны (3) және () теңдеуі қисықтық сызығының дифференциалдық теңдеуі болып табылады. Егер беттегі координаталық сызықтар қисықтық сызығы болатын болса, онда бірінші және екінші квадраттық формуланың сәйкес F,M коэффициенттері нөлге тең болады. Мұндағы F=0 болуы, бұл координаталық торлардың ортогональдылығынан шығады, ал M=0 болуы олардың түйіндестігінен шығады. Негізгі єдебиеттер:[1-5] Қосымша єдебиеттер:[6-7] Лекция тақырыбы Беттердің бас қисықтықтары мен нормаль қисықтықтарының арысындағы байланыс. Беттің орта және толық (Гаусс) қисықтығы. Беттің нормаль қисықтығын кез-келген бағытта бас нормаль қисықтығы арқылы өрнектейік. Ол үшін x,y,z тікбұрышты декарттық координаталар арқылы кез-келген О нүктесі жанама жазықтығы үшін j,x,y жазықтығын, ал Oz осін беттің нормалі ретінде қарастырамыз. x,y осьтерінің бағытын сәйкес келетіндей таңдап аламыз. z=z(x,y) беттің О нүктесі аймағындағы теңдеуі болсын. О нүктесінде zx=0, zy=0. Сондықтан О нүктесінде бірінші және екінші квадраттық формулалар мына түрде жазылады:  *
Осыдан нормаль қисықтық кез-келген (dx:dy) бағытында мына түрде анықталады:  - (1), мұндағы k1 және k2 беттің бас қисықтықтары болады.
бұрышы (dx:dy) кез-келген бағытымен (dx:0) бас бағытының арасындағы бұрыш болсын. Онда К осы бағыттағы нормальдақ қисық болады. Ал, k1 және k2 (dx:0) және (0:dy) бағыттарына сәйкес келетін бас қисықтықтар болсын. Онда нормаль қисықтықтың бірінші формуласынан кез-келген бағыттағы нормальдық қисықтықтың Эйлер формуласы шығады. К=k1cos2+k2sin2 - Эйлер формуласы. Бұл формуладан көретініміз беттің кез-келген бағытындағы нормаль қисықтығын табу үшін беттің бас қисықтығын білген жеткілікті. Енді, біз бас қисықтықтың өрнегін бетттің теңдеуі параметрлік түрде берілген жағдайды қарастырайық.
k1 және k2 беттің бас қисықтықтары болсын (k1k2). Кез-келген қисық сызықты координаталар жүйесінде бірінші және екінші квадраттық формулаларды қарастырып, * формуласына теңестіріп. Мынадай тепетеңдік аламыз: 
осы жұйенің екінші теңдеуін k1-ге көбейтіп. Біріншіден алып тастасақ, мына тепетеңдікті аламыз: (L-k1E)du2+2(M-k1F)dudv+(N-k1G)dv2=(k2-k1)dy2 кез-келген координаталық жүйесінен нормаль түрге көшкенде, біз мынадай теңдік аламыз:  .
Осы dy-ті алдыңғы теңдеуге қойып және дифференциалдың арасындағы коэффициенттерді теңестірсек, біз мынадай қатынастар аламыз:  ,
теңдеуді а2/в2-қа көбейтеміз, онда 
Бұдан мынадай теңдік шығады (L-k1E)(N-k1G)-(M-k1F)2=0. Осыған ұқсас k2 үшінде оң жағынан dy2-ты жою арқылы теңдік алуға болады. Осыдан беттің бас қисықтығы оның әрбір нүктесінде мына квадраттық теңдеу түбірі болдып табылады. (L-k2E)(N-k2G)-(M-k2F)2=0. (2) немесе мына түрде де жазуға болады: k2(EG-F2)-k(LG-2MF+NE)+(LN-M2)=0. Cоңғы теңдік екінші теңдеудің характеристикалық теңдеуі деп аталады. Енді. беттің орта және толық (Гаусс) қисықтықтарын қарастырайық. жүктеу/скачать 1,48 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
векторларын қамтиды (өйткені бірінші жазықтық жанама, ал екінші қисығы асимтоталық сызық). Сондықтан мына шартты қанағаттандырады: (
)=0, міне осыдан жанама жазықтық асимтоталық жазықтың жанасушы жазықтығы болып табылады.
- (3) - дәлелдеу керек.