Жұмыс бағдарламасы (силлабус) осы мамандықттардың Қр мжмбс 08. 329-2006, Қр мжмбс 08. 33-2006 Мемлекеттік стандартына сәйкес құрылған

Біз ең қысқа жолды табу алгоритмін 1-суреттегі графқа қолданылатындай сипаттадық. Нақтылы бір мысалға жазылған бұл алгоритмді кез келген графқа қолдануға болатындай алгоритмнің сипаттамасын келтірейік: Al1 алгоритмін графтың берілген екі төбесін қосатын ең қысқа маршрутын табу үшін сипаттаймыз. Бұл алгоритмнің негізіне берілген графтың бір төбесінен шығатын ең қысқа жолдардың графы деп қарастыруға болатын ярустық граф құру алгоритмі жатады. Сондықтан алдымен ең қысқа жолдардан құралған ішкі граф құратын Al2 алгоритмін сипаттайық:

Al2 алгоритмі (ең қысқа жолдар графын құрады).

Басы. Бағытталған G графы және оның бір х0V(G) төбесі берілген. G графын кіретін және шығатын аймақтар {O+(х), O-(х)|xV(G)} үйірімен берейік.

1. L:={x₀}, M:=, Г(x₀):=, h(x₀):=0, t:=0;

Мұндағы L мәндері құрылғалы тұрған ағымдағы яруста жатқан төбелер жиыны болатын айнымалы; М-мәндері құрылғалы тұрған ағымдағы ярустың алдындағы яруста орналасқан төбелер жиыны болатын айнымалы; Г әрбір х төбесіне құрылатын графтың х–ке апаратын төбелер жиынын белгілейтін функция; h x_o төбесінен x төбесіне дейінгі аралықты көрсететін натурал санды кез келген x төбесіне белгілейтін функция; t- h функциясын есептеуге қолданылатын бүтін мәнді айнымалы t.

2. M:=MUL;

3. Әрбір zL, t:=t+1; L:={O-(x)|xL}\M, Г(z):=O+(z)М, Г(z):=t+1;

4. Тексеру: L=. Егер дұрыс болса 2 пунктке көш.

Соңы. М, h және Г баспаға бер.

Мұнда М x_o төбесінен шығатын ең қысқа жолдар графының төбелер жиыны; Г(х) ең қысқа жолдар графынан шығатын х төбесінің аймағы.

h(х)–G графындағы ρ(х₀, х) арақашықтығы(х пен у төбесінің арақаш-ықтығы деп х пен у-ті қосатын ең қысқа жолды айтады).

1-кесте

х₀ төбесінен у₀ төбесіне жеткізетін ең қысқа жолды табу үшін кестеден Г(у₀) мәнін табамыз және одан қандай да бір у₁Г(у₀) төбесін аламыз. у₁ төбесі үшін Г(у₁) мәнін табамыз да, одан қандай да бір у₂Г(у₁) төбесін аламыз. Осылай жалғастыра келе х₀ төбесіне келеміз ( бұл төбе үшін Г(х₀)=0). Мысалы, у₀=440 алсақ мынадай тізбек аламыз: у₀=440, у₁=143Г(440), у₂ =152Г(143), у₃=602Г(143), у₄=620Г(602), у₅=323Г(620), у₆=350Г(323), у₇=800, Г(800)=0. Демек, 800 төбесінен 440 төбесіне жеткізетін ең қысқа маршрут: 800, 350, 323, 620, 602, 152, 143, 440.

Графтың екі төбесінің арасындағы ең қысқа жолды анықтайтын Al1 алгоритмін Al2 алгоритмінен жеңіл шығарып алуға болады.

Al1 алгоритмі (графтың екі төбесінің арасындағы ең қысқа жолды анықтайды)

Басы. G бағытталған граф, х₀, у₀ оның екі төбесі

Al2 алгоритмін (G, х₀) жұбына қолдану.

у:=у₀, u:u=у₀.

Мұнда құрылып жатқан ең қысқа жолдың ағымдағы төбесі у-тің мәні болады.

Г(у) табу және Г(у)=0 екендігін тексеру. Егер шарт дұрыс болса, «х₀-ден у₀-ге апаратын жол жоқ» деген хабар баспаға шықсын.

x₀Г(у). екендігін тексеру. Егер дұрыс болса, соңына көш.

Қандай да бір zГ(у) төбесін алу. Анық болу үшін Г(у) тізіміндегі бірінші төбені аламыз да у:=z және u:=z,u 3 қадамға көш.

Мұндағы z,u z-ті u тізбегінің басына қосқандағы нәтижені білдіреді.

Соңы. U тізбегін баспаға шығару.

Негізгі әдебиет: [161-180]; 2[108-114] .

Қосымша әдебиет: 7[88-130] .

Бақылау сұрақтары:

1. Маршруттың, шынжырдың, қарапайым шынжырдың, тұйық мар-шруттың, циклдың, қарапайым циклдың анықтамаларын беріңіз.

2. Маршрут ұзындығы не?

3. Қандай граф байланысты деп аталады?

4. Граф төбелерінің арасындағы ұзындығы к-ға тең маршруттың бар екендігін қалай анықтауға болады?

5. Графтың екі төбесін қосатын ең қысқа жолды табудың алгоритмі.
14–дәріс тақырыбы. Эйлер және Гамильтон циклдары (2 сағат)

Дәріс конспектісі: Графтар теориясына негіз болған есептердің бірі Кенигсберг көпірлері туралы есеп. 1-Суретте Леонард Эйлердің тұсындағы(17 ғасыр) XVII ғасырдағы Кенигсберг қаласының картасы салынған. Қала Прегель өзенінің екі жақ жағалауында және 2 аралда. орналасқан Аралдар өзара және жағалаулармен 7 көпірмен жалғасқан. Кенигсберг тұрғындарының арасында сол кезде Кенигсберг көпірлері деп аталатын есеп кең тараған:

Есеп. Үйден шығып әр көпірмен бір рет қана жүріп үйге қайтып келуге болама ма деген сұрақ туады?

3-сурет

4-сурет

Бұл тұжырым кез келген бағытталған G графына да жарамды. Сонымен бағытталмаған G графында оның барлық қабырғалары арқылы өтетін цикл бар болу үшін G графының төбелерінің дәрежесі жұп болуы қажетті.

Эйлер теоремасын шамалы өзгеріспен бағытталған графтарға да қолдануға болады. Ол үшін бағытталған графтардың да байланысты болу ұғымын енгізу керек.

Доғаларының бағыттарын алып тастағаннан кейінгі алынған бағытталмаған G графы байланысты болса, бағытталған °G графы байланысты деп аталады.

Теорема. Бағытталған G графында Эйлер циклы болу үшін оның әр төбесіне кіретін дәрежемен шығатын дәрежелердің бірдей болуы қажетті және жеткілікті. дәр.+(х) = дәр.- (х) барлық xV(G).

Байланысты және тиелген бағытталмаған графтағы белгіленген V₀ және Vn төбелерін қосатын ең қысқа жолды іздеуді жүзеге асыратын Форд алгоритмі.

V₀ төбесіне λ₀ таңбасы беріледі де, қалған төбелердің таңбалары λ=∞V₀ болады.

(Vi, Vj) қабырғаларының ішінен λ_j – λ_i>L((V_i, V_j)) орындалатындай қабырғалар ізделеді және олардың λ_j индекстері λ_j'=λ_i+L((V_i, V_j )) алмастырылады. Индекстрді өзгерту процесі одан әрі λj таңбасын азайту мүмкіндігі болмайтын бірде бір қабырға қалмағанша жүргізіледі. Нәтижесінде әр төбенің таңбасы осы төбенің V₀ төбесіне дейінгі ең қысқа қашықтықты көрсетеді. Ең қысқа жолдың өзін табу үшін Vn төбесінен екі жағындағы төбелердің таңбаларының айырымы қабырғаның ұзындығына тең қабырғалардың бойымен қозғалу қажет.

Коммивояжер аралайтын бірнеше қалалардың арақашықтықтары белгілі.

Барлық қалаларда бір реттен ғана болып алғашқы шыққан қаласына қайтып келетін маршрутты табу керек. Егер мұндай маршруттар бірнешеу болса, олардың ең қысқасын табу керек. Мұндай есептер іс жүзінде жиі кездеседі, мысал үшін өндіріс өнімдерін сауда орталықтарына ең қысқа жолмен жеткізу есебі.

Мұндай есептерді шешудің жалпы ортақ теоремалары мен көлемі жөнінен шағын, әрі тиімді алгоритмдердің жоқтығы есепті шешуде қиындықтар туғызады.

Негізгі әдебиет: 2 [20-22]; 3[108-144].

Қосымша әдебиет: 7[88-130] .

Бақылау сұрақтары:

1. 
   Цикл деп нені айтамыз?
   
2. 
   Қандай граф Эйлер графы деп аталады?
   
3. 
   Графтың Эйлер графы болуының жеткілікті және қажетті шартын атаңыз?
   
4. 
   Гамильтон шынжыры, Гамильтон циклы дегендер не?
   
5. 
   Коммивояжер есебін шешудің қандай алгоритмі белгілі?
   

Транспорт желісінің шығу,кіру деп аталатын төбелерден басқа төбелері аралық төбелер деп аталады. 1-суретте v₀-басталу төбесі, z-аяқталу төбесі, v₁, v₂, v₃, v₄-аралық төбелер, ал әр доғада өткізу қабілеті көрсетілген.

vv₀, vz;

5-сурет