IV. Динамика вращательного движения твёрдого тела

 

20 

4.1. Момент силы 

Для приведения тела во вращение необходимо, чтобы приложенная к нему сила создавала 

момент. Моментом силы 



F  относительно неподвижной точки  O  (рис.4.2) называется вектор                                                                              

















F

r

M

,                                                  (1.4.1)

 

где 



r  - радиус-вектор точки приложения силы. 

Вектор 



M   проходит  через  точку  O .  Он  перпендикулярен  плоскости 

рисунка  и  направлен  «к  нам».  Модуль  момента  силы  определяется 

выражением: 

,

sin

l

F

F

r

M













                                                     (1.4.2)  

где 



sin

r

l



  -  плечо  силы  (длина  перпендикуляра,  опущенного 

из точки  O  на линию действия силы).  

При  вращении  тела  вокруг  неподвижной  оси 

Z

  вращательный  момент  создает  только 

одна  составляющая  действующей  на  него  силы,  а  именно

.





F   -  касательная  к  траектории 

точки  ее  приложения.  Следовательно,  вектор  момента  силы 



F   относительно  начала 

координат  O  равен                                    

.



















F

r

M

                                                          (1.4.3) 

 

Рис.4.3 

Направление  вектора 



M   указано  на  рисунке.  Его  модуль 

равен:                    

r

F

M







.                                            (1.4.4) 

Вектор  момента  силы 



Z

M   относительно  оси 

Z

 

(рис.4.2)  представляет  собой  проекцию  на  эту  ось  вектора 



M .  Он  направлен  вдоль  оси 

Z

,  не  имеет  определенной 

точки приложения, его модуль равен 

                  

,

R

F

cos

r

F

cos

M

M

Z





















                 (1.4.5)

 

где 

R

 – расстояние от оси 

Z

 до линии действия силы 





F

. 

 

4.2. Момент инерции тела 

Момент  инерции  тела  –  величина,  определяющая  его  инертность  во  вращательном 

движении. 

В  динамике  поступательного  движения  инерцию  тела  полностью  характеризует  его 

масса. Влияние собственных свойств тела на динамику вращательного движения оказывается 

более сложным, чем при поступательном движении. 

Момент  инерции 

Z

J   материальной  точки  относительно  оси  вращения  равен 

произведению массы  m  точки  на квадрат расстояния 

R

 от точки до этой оси:  

2

R

m

J

Z





.                                                            (1.4.6) 

Момент инерции тела относительно оси вращения равен сумме моментов инерции всех его 

материальных точек относительно этой оси:  













n

i

i

i

m

Z

R

m

J

1

2

0

lim

.                                                    (1.4.7)  

Следовательно,  на  инертность  тела  во  вращательном  движении  влияют  форма  и 

геометрические  размеры  тела,  его  расположение  относительно  оси  вращения,  особенности 

распределения массы по объему. 

 

Рис.4.2 

 

21 

 

В  табл.  4.1  приведены  моменты  инерции  некоторых  тел  правильной  геометрической 

формы, выполненных из однородных материалов:  

Таблица 4.1 

Тело 

Положение оси вращения  

Момент инерции 

Полый тонкостенный цилиндр радиуса 

R

 

Ось симметрии 

2

mR  

Сплошной цилиндр или диск радиуса  

R

 

Ось симметрии 

2

2

1

mR  

Прямой тонкий стержень длиной  l  

Ось проходит через середину 

стержня 

перпендикулярно 

ему 

2

12

1

ml  

Шар радиусом 

R

 

Ось симметрии 

2

5

2

mR  

Для  расчета  момента  инерции  тела  относительно  произвольной  оси,  не  проходящей 

через  центр  масс,  применяют  теорему  Штейнера:  момент  инерции  тела 

Z

J   относительно 

произвольной  оси  равен  сумме  момента  инерции 

C

J   тела  относительно  оси,  проходящей 

через  центр  масс,  параллельно  данной  оси,  и  произведения  массы  тела  m   на  квадрат 

расстояния  a  между этими осями:             

2

a

m

J

J

C

Z







.          С               (1.4.8) 

Например,  момент  инерции  однородного  тонкого  стержня 

(рис.4.4)длиной  l   и  массой  m   относительно  оси 

1

Z , 

перпендикулярной стержню и проходящей через его конец равен:      

.

3

1

4

12

1

2

2

2

2

'

ml

l

m

ml

ma

I

I

C

Z











.

3

1

4

12

1

2

2

2

2

'

ml

l

m

ml

ma

J

J

C

Z











 

При  переносе  оси  вращения  из  центра  масс  в  конец  стержня  его  момент  инерции 

увеличился в 4 раза. 

 

4.3. Работа и кинетическая энергия вращающегося тела 

 

Рис.4.5 

Пусть  на  твердое  тело  действует  сила 



F .  Можно  показать, 

что вращающий момент оси 

Z

  создает только составляющая 

силы 





F

, касательная к траектории точки ее приложения.  

За  время  dt   тело  поворачивается  на  бесконечно  малый  угол 



d

 

и 

точка 

приложения 

силы 

проходит 

путь                                  

.



d

R

dS





  Вектор 





F

 направлен по касательной к дуге  dS , 

поэтому работа силы определяется выражением:  











d

M

d

R

F

dS

F

A

Z













.                    (1.4.9) 

Кинетическая энергия вращающегося тела определяется суммой кинетических энергий 

его элементарных объемов, которую с учетом выражения (









i

i

R

), равна: 

          









n

i

i

i

к

m

E

1

2

2























n

i

Z

i

i

n

i

i

i

J

R

m

R

m

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2







.                    (1.4.10) 

В  случае  плоского  движения  тела,  например  цилиндра,  скатывающегося  с  наклонной 

плоскости  без  скольжения,  энергия  складывается  из  энергии  поступательного  движения  и 

энергии вращения: 

 

Рис.4.4 

 

22 

2

2

2

2













C

C

K

J

m

E

,                                                  (1.4.11) 

  где 

m  – масса скатывающегося тела; 

C



 – скорость центра масс тела; 

C

J  – момент инерции 

тела относительно оси, проходящей через центр масс; 



 – угловая скорость вращения. 

 

4.4. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела 

Работа  силы  при  повороте  тела  приводит  к  увеличению  его  кинетической  энергии 

тела: 

к

dE

A





. Подставив сюда выажения (1.4.9) и (1.4.10), получим: 









d

J

J

d

d

M

Z

Z

внешн

Z











)

2

(

2

       или         

t

d

d

J

t

d

d

M

Z

внешн

Z











. 

Откуда  

 

    







Z

внешн

Z

J

M

         или        

Z

внешн

Z

J

M









.                                       (1.4.12) 

Это  основное  уравнение  динамики  вращательного  движения  твердого  тела  вокруг 

неподвижной  оси:  угловое  ускорение  тела,  вращающегося  вокруг  неподвижной  оси,  прямо 

пропорционально  моменту  приложенной  силы  относительно  этой  оси  и  обратно 

пропорционально моменту инерции тела относительно этой же оси. 

Из (1.4.12) следует, что если момент внешних сил не изменяется (



внешн

Z

M

const



), то при 

постоянном моменте инерции тела (

const

J

z



) угловое ускорение 

const







. Следовательно, 

под действием постоянного момента сил тело вращается равнопеременно. В частности, если  



внешн

Z

M

=0, то и 

0







 - тело вращается равномерно. 

 

4.5. Момент импульса и закон его сохранения 

Рассмотрим малый элемент твердого тела - материальную точку массой 

i

m . Ее скорость 



i



  и,  соответственно,  импульс 









i

i

i

m

p



  направлены  по  касательной  к  траектории  точки 

(окружности радиусом 

i

R ). 

 

Рис.4.6 

Вектором  момента  импульса 



i

L

  материальной  точки 

относительно  неподвижной  точки  O   называется  физическая 

величина, определяется векторным произведением:  

        































i

i

i

i

i

i

m

r

p

r

L



.                            (1.4.13) 

Вектор 



i

L   проходит  через  точку 

O

,  его  направление 

определяется  правилом  векторного  произведения  векторов,  а 

модуль равен:          

.

i

i

i

i

m

r

L







                                      (1.4.14)  

 

Вектор  момента    импульса 



iZ

L   материальной  точки  относительно  оси 

Z

, 

представляет собой проекцию на эту ось вектора 



i

L

. Он лежит на оси вращения и не имеет 

определенной точки приложения, его модуль определяется выражением 

.

cos

cos

i

i

i

i

i

i

i

iZ

m

R

m

r

L

L



















                                (1.4.15) 

 

23 

Вектор  момента  импульса 



Z

L   твердого  тела  относительно 

Z

  равен  сумме  векторов 



iZ

L  

всех  его  точек.  Все  векторы 



iZ

L   лежат  на  оси  вращения  и  направлены  в  одну  сторону, 

поэтому и результирующий вектор 



Z

L  лежит на оси

Z

, его модуль равен:  

                           

i

i

i

n

i

Z

R

m

L









1







z

n

i

i

i

i

i

n

i

J

R

m

R

m















1

2

2

1

.                               (1.4.16) 

Уравнение (1.4.16) можно записать в векторной форме:   











Z

Z

J

L

.                              (1.4.17) 

Продифференцировав (1.4.17) по времени (при 

const

J

Z



), получим: 



















Z

Z

Z

J

dt

d

J

dt

L

d



внешн

Z

M

.                                     (1.4.18) 

Это  еще  одна  форма  записи  основного  уравнения  динамики  вращательного  движения 

твердого тела относительно неподвижной оси: производная по времени от момента импульса 



Z

L   твердого  тела  относительно  оси  вращения  равна  моменту  внешних  сил 



внешн

Z

M

,  

действующих на тело, относительно той же оси.  

 

Последнее уравнение можно записать в виде:          

t

d

M

L

d

внешн

Z

Z









                       (1.4.19) 

изменение  момента  импульса  вращающегося  тела  происходит  под  действием  импульса 

момента внешних сил, действующих на него. 



  





L    

орб

L



  



сут

L



  











I

L











I

L

 

В замкнутой системе момент внешних сил 



внешн

Z

M

 равен нулю. Поэтому 

0





dt

L

d

Z

     и     

.

const

L

Z





                                      (1.4.20) 

Это  выражение  представляет  собой  закон  сохранения  момента  импульса:  момент 

импульса  замкнутой  системы  относительно  неподвижной  оси  сохраняется,  т.  е.  не 

изменяется с течением времени. 

Это  фундаментальный  закон  природы.  Он  является  следствием  изотропности 

пространства,  т.  е.  одинаковости  свойств  пространства  по  всем  направлениям.  Поворот 

замкнутой системы как целого не изменяет ее механических свойств. 

Поскольку 











Z

Z

J

L

, то для замкнутых систем     

.

const

J

Z









                           (1.4.21) 

 

Рис.4.7 

     Это  значит,  что  если  момент  инерции  тела  не  изменяется 

(

const

J

Z



),  то  тело  вращается  с  постоянной  скоростью 

(

const





).  Если  величина 

Z

J   изменяется,  то  и  величина 



 

тоже должна изменяться. Если 

Z

J  увеличивается, то 



 должна 

уменьшаться  и  наоборот.  Качественным  подтверждением 

закона  сохранения  момента  импульса  может  служить  опыт  со 

скамьей  Жуковского  (рис.4.7)  -    горизонтальной  площадкой, 

имеющей форму круга и свободно вращающейся  без  трения   

 

Рис.4.8 

вокруг вертикальной оси 

1

OO . Человек с гантелями в руках стоит в центре скамьи. Момент 

внешних  сил  равен  нулю.  Скамью  приводят  во  вращение  с  угловой  скоростью 



,  когда 

человек держит гантели на вытянутых в стороны руках. Если он поднесет гантели к груди, то 

 

24 

скорость  вращения  скамьи  заметно  возрастет,  при  разведении  рук  вновь  уменьшится. 

Изменяя положение рук, человек меняет момент инерции своего тела.     

 

Из  закона  сохранения  (1.4.21)  следует,  что  внутренние  силы  не  могут  изменить 

момент импульса тела или системы тел. Однако, они могут вызвать вращение частей внутри 

системы.  Подтверждает  это  следующий  опыт  (рис.4.8).  Путь  человек  стоит  на  скамье 

Жуковского и держит над головой насаженное на палку неподвижное велосипедное колесо. 

Момент  импульса  этой  системы  относительно  оси  вращения  равен  нулю.  Если  привести 

колесо  во  вращение,  то  скамья  начнет  вращаться  в  противоположную  сторону.  Момент 

импульса системы по-прежнему равен нулю. Если повернуть палку с вращающимся колесом 

вниз, то направление вращения скамьи изменится на противоположное. 

 

В  табл.  4.2  приведены  основные  величины  и  уравнения,  описывающие 

поступательное движение тела и его вращение вокруг неподвижной оси. 

Таблица 4.2 

Поступательное движение 

Вращательное движение 

Масса 

m  

Момент инерции 









n

i

i

i

R

m

J

1

2

 

Сила 



F  

Момент силы 

















F

r

M

;

l

F

M





 



















F

R

M

z

; 

R

F

M

z







 

Импульс 













i

i

n

i

m

p



1

 

c

m

p











 

Момент импульса 





















i

i

n

i

p

r

L

1

 





















i

i

n

i

z

p

R

L

1

;  











z

z

J

L

 

Основное уравнение 

динамики 

m

F

a

внешн







 

dt

p

d

F

внешн







 

Основное уравнение 

динамики 

z

внешн

z

J

M









 

dt

L

d

M

z

внешн

z







 

Работа 

dS

F

A

S







 

Работа 





d

M

A

z





 

Кинетическая 

энергия 

2

2







m

E

к

 

Кинетическая энергия 

2

2







z

к

J

E

 

жүктеу/скачать 1,17 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: