Конспект лекций Модуль Механика
Механические гармонические колебания
жүктеу/скачать 1,17 Mb. Pdf көрінісі
|
1 физика- механика
- Бұл бет үшін навигация:
- Пружинный маятник
- 9.1. Механические гармонические волны
5.2. Механические гармонические колебания
Рис.5.1 Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси x около положения равновесия, принятого за начало координат. Временные зависимости смещения, скорости и ускорения точки аналогичны уравнениям (1.8.1), (1.8.2) и (1.8.3): ) cos( 0 0 t A x (1.8.1а) ) 2
0 0 0 t A dt dx ; (1.8.2а) ) cos(
0 0 2 0 2 2
A dt x d a . (1.8.3а) Их амплитуды соответственно равны
, 0 A и
2 0 A . Фаза скорости опережает фазу смещения на 2 , смещение и ускорение находятся в противофазах. 8.3. Энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку массой m x m t A m t A m a m F 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 ) cos( ) cos(
, (1.8.5) пропорциональна смещению x и направлена в сторону, противоположную смещению, т. е. к положению равновесия. Она называется квазиупругой силой, которая является консервативной. Поэтому при гармонических колебаниях нет перехода энергии механического движения в другие виды энергии – кинетическая энергия k E переходит в потенциальную п E и обратно. Полная энергия системы остается постоянной. Кинетическая, потенциальная и полная энергии материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равны ) (
2 2 0 0 2 2 0 2 2 t A m m E k ; (1.8.6)
x x п t A m x m dx F E 0 0 0 2 2 2 0 2 2 0 ) ( cos
2 2 1 ; (1.8.7) const A m E E E E E п k п к 2 2 0 2 max max . (1.8.8) 30
Рис.5.2 8.4. Гармонический осциллятор Гармоническим осциллятором называется система, закон движения которой описывается уравнением вида (1.8.4). Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники.
абсолютно упругой пружине и совершающий колебания под действием квазиупругой силы:
( k - жесткость пружины). Закон движения маятника имеет вид:
2 2 или x m k t d x d 2 2 . (1.8.9) Сравнивая это уравнение с законом движения гармонического осциллятора (1.8.4), можно сделать вывод, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону ) cos(
0 0 t A x с циклической частотой и периодом равными
0 и
k m T 2 2 0 . (1.8.10)
Рис.5.3 Физический маятник (рис.5.3) - твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси 0, не проходящей через его центр масс
.
При отклонении маятника на угол от положения равновесия составляющая силы тяжести
который при малых углах отклонения равен
F M ,
g m (1.8.11)
где - длина физического маятника. Подставив выражение (1.5.11) в основной закон динамики вращательного движения
, получим: l g m dt d J 2 2 или , 0 2 0 2 2
d (1.8.12) где
– момент инерции маятника относительно оси вращения. Это уравнение по виду совпадает с законом движения гармонического осциллятора. Следовательно, физический маятник совершает гармонические колебания с параметрами: пр g J mg 0 ;
2 2 0
2
mg J g пр , (1.8.13) где длина пр называется приведенной длиной физического маятника
J пр (1.8.14) Рис.5.4 Математический маятник (рис.5.4) - материальная точка массой m , подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити длиной и
колеблющаяся под
действием силы
тяжести без
трения. Математический маятник можно рассматривать как частный случай физического маятника. Поэтому если в формулу (1.8.13) подставить момент инерции J материальной точки относительно оси, проходящей через точку
( 2 m J ), то получим формулу для периода колебаний математического маятника . 2 2 2
mg m T (1.8.15) 31
Из сопоставления формул (1.8.13) и (1.8.15) получается, что данный физический маятник будет иметь такой же период, что и математический маятник длиной
J пр . Поэтому приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятник, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.
Гармонические колебания, описываемые уравнением ) cos( 0 0 t A x , можно представить с помощью вращающегося вектора амплитуды. Из точки 0, взятой на оси x , под углом 0 , равным начальной фазе колебания, отложим вектор длиной А , равной амплитуде колебания (рис.5.5). Если привести этот вектор во вращение против движения часовой стрелки с угловой скоростью 0 , то проекция его конца будет перемещаться по оси x в пределах от A до
A , причем координата проекции будет со временем изменяться по закону гармонического колебания. Схема, полученная таким способом, называется векторной диаграммой. Она широко используется при сложении колебаний, когда система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. 8.6. Затухающие колебания Затуханием колебаний называется постепенное их ослабление с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Механические колебания затухают главным образом из-за трения. В вязкой среде на колеблющуюся механическую систему кроме квазиупругой силы kx F действует еще сила сопротивления, которая при малых скоростях пропорциональна скорости ,
F r ( r – коэффициент сопротивления). Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид:
kx ma или 0 2
x k t d dx r t d x d m 0 2
0 2 2 x t d dx t d x d , (1.8.16) где
m k 0 – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же системы (при 0
),
m r 2 – коэффициент затухания.
Рис.5.6
В случае малых затуханий ( 0 ) решением этого уравнения является функция ) cos( 0 t e A x t , график которой приведен на рис.5.6 сплошной линией. Амплитуда колебаний
0 (показана пунктиром) уменьшается со временем по экспоненциальному закону. Промежуток времени
, в течение которого амплитуда уменьшается в e раз, называется временем релаксации.
2 2 0 2 2
, (1.8.17) где
2 2 0 – частота затухающих колебаний. Показателем степени затухания колебаний является декремент затухания. Он равен отношению амплитуд, соответствующих моментам времени t и T t , т.е. Рис.5.5
32
. ) ( ) (
e T t A t A (1.8.18) Натуральный логарифм данного выражения называется логарифмическим декрементом
: e T N T T e 1 ln , (1.8.19) где e N – число колебаний, совершенных за время уменьшения амплитуды в e раз. 8.7. Вынужденные колебания Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии при помощи какого-либо периодически действующего фактора, изменяющегося по гармоническому закону t x t x cos ) ( 0 . При
механических колебаниях таким фактором является вынуждающая сила t F F в cos 0 . Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы имеет вид:
в F r x k a m или t f x t d dx t d x d cos
2 0 2 0 2 2 , (1.8.20) где
m k 0 – циклическая частота свободных незатухающих колебаний; m r 2 – коэффициент затухания; m F f 0 0 . Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение равно сумме общего решения ) cos( 0 t e A x t однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Можно показать, что частное решение имеет вид ) cos( t A x , где А и задаются формулами 2 2 2 2 2 0 0 4 ) (
A и 2 2
2 tg . (1.8.21) Амплитуда
вынужденных колебаний максимальна при частоте 2 2
2 рез , которая называется резонансной частотой 2 2 0 0 2
A рез . Если
0 , то все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля,
предельному значению 2 0
0 m F A , называемому статическим отклонением. Если , то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Если 0 , т. е. затухания колебаний нет, то 0
, и амплитуда при этом становится бесконечно большой. Поскольку в реальных системах 0
, амплитуда достигает своего максимального значения и остается конечной. Приведенная на рис. 5.7 совокупность кривых называется резонансными кривыми.
Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной). Механическими (упругими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. 9.1. Механические гармонические волны В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения упругой волны различают поперечные и продольные волны. В поперечной
Рис.5.7 33
волне частицы среды колеблются перпендикулярно направлению ее распространения, в продольной – вдоль него. На рис.6.1 представлен процесс образования поперечной гармонической волны, распространяющейся вдоль оси x . На каждой строчке показано положение нескольких частиц в выбранный момент времени. Частицы волны движутся вверх и вниз около равновесного положения. Волна не «бежит» в направлении распространения, а происходит только передача колебательного движения и его энергии. Основным свойством всех бегущих волн является перенос энергии без переноса вещества. Длиной волны называется расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе. Это расстоянию, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний Т : v T , (1.9.1)
Рис.6.1
где – скорость распространения волны; T v 1 – частота колебаний. При распространении волнового процесса колеблются не только частицы, лежащие на оси, а вся совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется фронтом волны (волновым
одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт, который также является волновой поверхностью, в каждый момент времени один. Волновые поверхности могут иметь любую форму. В простейших случаях это плоскость или сфера. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – множество концентрических сфер.
жүктеу/скачать 1,17 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|