Конспект лекций по физике для довузовской подготовки москва -2014

В
.
А
. 
Никитенко
, 
А
.
П
. 
Прунцев
123
Ускорение
а
имеет
две
составляющих
: 
нормальную
а
n
и
каса
-
тельную
а
к
(
результирующая
сила
и
ускорение
направлены
внутрь
окружности
). 
Проекция
векторного
соотношения
(9.9) 
на
прямую
, 
касательную
к
окружности
, 
дает
уравнение
F
1
= m
 
а
к
= –mg sin

, 
где
F
1
– 
возвращающая
сила
. 
При
малых
углах
(

15

) 
sin

и
колебания
можно
считать
гармоническими
: 
F
1

– mg 

= –mg
l
x
. (9.10) 
Таким
образом
, 
с
учетом
вто
-
рого
закона
Ньютона
m
х

=
l
mg
-
x 
и
уравнения
(9.4) 
имеем
формулу
для
расчета
периода
колебаний
математического
маятника
: 
Т
= 
g
l
2
2
0




.
(9.11) 
Обратите
внимание
на
то
, 
что
период
колебаний
математиче
-
ского
маятника
не
зависит
от
его
массы
, 
от
амплитуды
и
очень
чувст
-
вителен
к
ускорению
свободного
падения
. 
Колебательный
 
контур
представляет
собой
замкнутую
 
электрическую
 
цепь
, 
состоящую
 
из
 
конденсатора
 
емкости
 
С
,
 
ка
-
тушки
 
с
 
индуктивностью
 
L
 
и
 
электрического
 
сопротивления
 
R. 
Гар
-
монические
колебания
будут
наблюдаться
в
идеализированном
кон
-
туре
без
активного
сопротивления
(R=0) 
в
отсутствии
потерь
на
элек
-
тромагнитное
излучение
. 
В
таком
колебательном
контуре
происходит
взаимное
пре
-
вращение
энергий
электрического
и
магнитного
полей
, 
рис
. 9.4. 
На
этом
же
рисунке
на
примере
пружинного
маятника
показана
механи
-
ческая
аналогия
процессов
, 
происходящих
в
контуре
, 
причем
элек
-
трической
энергии
конденсатора
соответствует
потенциальная
энер
-
гия
деформированной
пружины
, 
а
магнитной
энергии
катушки
с
то
-
ком
– 
кинетическая
энергия
груза
. 
Мгновенной
перезарядке
конденсатора
препятствует
появле
-
ние
э
.
д
.
с
. 
самоиндукции
в
катушке
при
изменении
в
ней
силы
тока
. 
F
1
= mg sin 


F
2
= mg cos 

l 
F
Н
F
1
x

x
F
2
m
g
Рис
. 9.3

Конспект
лекций
124 
Заряд
на
обкладках
конденсатора
в
рассматриваемом
контуре
изменяется
по
гармоническому
закону
: 
q = q
max
cos(

0
t+

0
) .
(9.12) 
Период
собственных
колебаний
контура
зависит
от
индуктив
-
ности
и
емкости
контура
и
определяется
по
формуле
Томсона
Т
= 2

LC
.
(9.13) 
Колебания
реальных
классических
систем
всегда
затухают
(
выделение
тепла
и
другое
). 
Для
компенсации
потерь
энергии
в
ли
-
нейной
колебательной
системе
и
получения
устойчивых
колебаний
на
нее
оказывают
периодическое
внешнее
воздействие
. 
В
результате
в
системе
возникают
вынужденные
колебания
с
частотой
этого
воз
-
действия

1
и
амплитудой
, 
которая
при
определенной
частоте

р
про
-
ходит
через
максимум
(
резонанс
). 
В
зависимости
от
исследуемого
ключ
J 
+ 
– 
+ 
q 
q q 
q
– 
+ 
J – 
W = 
C
2
q
2
max
x 
W = 
2
LJ
2
max
W = 
C
2
q
2
max
W 
= 
2
LJ
2
max
W 
= 
C
2
q
2
max
t 
 
W = 
2
kA
2
 
 
W = 
2
m
2
max

 
W = 
2
kA
2
 
 
W = 
2
m
2
max

W =
2
kA
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис
. 9.4

В
.
А
. 
Никитенко
, 
А
.
П
. 
Прунцев
125
параметра
колебательной
системы
резонансная
частота

р
может
сов
-
падать
с
ее
собственной
частотой

0
или
приближается
к
ней
по
мере
уменьшения
потерь
энергии
в
реальной
системе
. 
Примером
полезного
и
вредного
проявления
резонанса
(
все
относительно
) 
является
: 
настройка
радиоприемника
на
нужную
волну
с
помощью
колебательного
контура
, 
разрушение
строительных
кон
-
струкций
под
действием
внешнего
периодического
воздействия
(
сол
-
датам
, 
марширующим
по
мосту
, 
подается
команда
«
сбить
ногу
»), 
тошнота
от
инфразвука
и
укачивание
в
автомобилях
и
др
. 
9.2. 
Волны
Прямым
следствием
колебаний
являются
волны
, 
под
которыми
понимают
изменения
 
некоторой
 
совокупности
 
физических
 
величин
 (
по
-
лей
), 
способные
 
перемещаться
, 
удаляясь
 
от
 
места
 
их
 
возникновения
, 
или
 
совершать
 
колебания
 
в
 
ограниченной
 
области
 
пространства
.
Волны
не
обязательно
связаны
с
наличием
вещества
. 
Напри
-
мер
, 
электромагнитные
волны
в
вакууме
представляют
собой
взаимо
-
связанные
изменения
электрических
и
магнитных
полей
. 
Если
в
качестве
примера
колеблющееся
тело
поместить
в
уп
-
ругую
среду
, 
то
оно
будет
воздействовать
на
соседние
частицы
среды
и
приводить
их
в
колебательное
движение
. 
Общее
колебание
распро
-
страняется
в
среде
с
некоторой
скоростью

. 
Процесс
распростране
-
ния
колебаний
в
упругой
среде
и
называется
волной
. 
Волны
, 
образованные
внешним
воздействием
, 
приложенным
к
открытой
среде
, 
то
есть
среде
, 
не
имеющей
внешних
границ
, 
называ
-
ются
бегущими
. 
Геометрическое
место
точек
, 
колеблющихся
в
оди
-
наковой
фазе
называется
волновой
 
поверхностью
. 
Простейшие
формы
волновой
поверхности
– 
это
плоскость
или
сфера
, 
соответст
-
венно
волна
называется
плоской
или
сферической
. 
Классические
плоские
бегущие
волны
от
гармонического
ис
-
точника
колебаний
описываются
уравнением
(
рассмотрим
на
практи
-
ческих
занятиях
подробней
)
*

(
r
, t) = A cos (

t – 
kr
) ,
(9.14) 
*
для
волн
, 
распространяющихся
в
упругой
среде
, 

(
r
, t) 
представляет
собой
смещение
колеблющейся
частицы
в
зависимости
от
координат
и
времени
. 

Конспект
лекций
126 
где
r 
– 
радиус
-
вектор
, 
характеризующий
положение
колеблющейся
точки
волны
относительно
начала
координат
, 
k
– 
волновой
вектор
, 
перпендикулярный
плоскому
фронту
волны
и
равный
k=


2
=2


/

=


. 
В
данном
случае

– 
фазовая
скорость
распростра
-
нения
волны
(
скорость
перемещения
фиксированного
значения
фазы
колебаний
), 

– 
длина
 
волны
, 
это
ее
пространственный
период
, 
то
есть
расстояние
 
между
 
двумя
 
ближайшими
 
точками
 
волны
, 
имею
-
щими
 
одинаковую
 
фазу
 
колебаний
.
Геометрическое
место
точек
, 
до
которых
доходят
колебания
к
моменту
времени
t, 
называется
волновым
 
фронтом
. 
У
плоских
волн
он
имеет
вид
плоскости
, 
у
сферических
– 
сферы
. 
Волны
бывают
поперечными
и
продольными
. 
В
поперечных
волнах
колебания
происходят
в
направлении
перпендикулярном
к
направлению
распространения
волны
(
волны
в
натянутой
веревке
, 
электромагнитные
волны
и
т
.
д
.), 
в
продольных
– 
в
направлении
рас
-
пространения
волны
(
звуковые
волны
, 
волны
в
сжатой
и
затем
отпу
-
щенной
пружине
и
т
.
д
.). 
В
течение
одного
периода
колебательный
процесс
распро
-
страняется
на
расстояние
, 
равное
длине
волны
, 
поэтому

= 

Т
= 


.
(9.15) 
Пример
. 
На
рис
. 9.5 
показана
качественная
картина
распро
-
странения
поперечной
бегущей
волны
вдоль
веревки
с
небольшими
шарами
(
вдоль
оси
х
), 
возникающей
в
результате
гармонических
ко
-
лебаний
первого
шара
. 
Уравнение
волны
, 
согласно
(9.14), 
в
данном
случае
имеет
вид
y = A sin 

(t –

x
), 
так
как
колебания
шаров
в
точке
х
отстают
во
вре
-
мени
на

x
от
колебаний
первого
шара
в
т
. 
х
=0.
Механические
поперечные
волны
возникают
только
в
среде
, 
обладающей
сопротивлением
сдвигу
. 
Шары
, 
которые
отстоят
друг
от
друга
на
расстоянии

= 

Т
колеблются
в
одинаковой
фазе
, 
это
рас
-
стояние
называется
длиной
волны
. 

В
.
А
. 
Никитенко
, 
А
.
П
. 
Прунцев
127
Распространение
бегу
-
щих
волн
происходит
с
перено
-
сом
энергии
и
импульса
. 
Ско
-
рость
распространения
элек
-
тромагнитных
волн
в
вакууме
с
=3

10
8
с
м
, 
в
среде

=



с
, 
где

,

– 
диэлектрическая
и
магнитная
проницаемость
сре
-
ды
. 
На
рис
. 9.6 
показан
пример
распространения
элек
-
тромагнитной
волны
(
распрост
-
ранение
электромагнитных
ко
-
лебаний
в
пространстве
с
ко
-
нечной
скоростью

). 
Шкала
 
электромагнитных
 
волн
в
зависимости
от
длины
волны
условно
делится
на
диапазоны
: 
y
t=0 
x 
t=
4
T
x 
t=
2
T
t=
4
3
T 
x 
t=T 
x 

= 

Т
 
Рис
. 9.5 
х
v
у
Е

о
В
Z 
Рис
. 9.6 
о
о
о
о
о

Конспект
лекций
128 
радиоволны


= 30 
км
– 1 
мм
инфракрасные
волны


= 1 
мм
– 750 
нм
световые
волны


= 750 
нм
– 400 
нм
(
видимый
диапазон
) 
ультрафиолетовые
волны


= 400 
нм
– 5 
нм
рентгеновское
излучение


= 5 
нм
– 4 
пм
гамма
-
излучение



4 
пм
 
9.3. 
Колебания
 
и
 
волны
 
в
 
примерах
Пример
 
№
 1.
На
длинном
нерастяжимом
невесомом
стержне
длиной
l 
подвешен
шар
массой
М
, 
который
может
совершать
колеба
-
ния
вокруг
положения
равновесия
. 
В
неподвижный
шар
попадает
пу
-
ля
, 
скорость
которой

=500 
м
/
с
и
масса
m=
М
/n (n=1000), 
и
застревает
в
нем
. 
Попадание
пули
приводит
к
отклонению
шара
от
положения
равновесия
на
угол

=10

. 
Найти
частоту
колебаний
шара
. 
Размерами
шара
, 
трением
в
подвесе
и
сопротивлением
воздуха
пренебречь
. 
Решение
.
При
ударе
пули
о
шар
выполняется
закон
сохране
-
ния
импульса
: m

=(M+m)u, 
где
u – 
скорость
шара
. 
Откуда

=u(n+1). 
Удар
пули
о
шар
приводит
к
изменению
высоты
шара
на
величину
h, 
которую
можно
найти
из
закона
сохранения
энергии
, 
2
M)u
(m
2

= (m+M)gh . 
Используя
оба
закона
, 
получаем
h=

2
/((n+1)
2
2g). 
Из
геомет
-
рии
следует
, 
что
длина
стержня
l=h/(1–cos

)=

2
/((n+1)
2
(1–cos

)2g). 
Считая
шар
со
стержнем
математическим
маятником
, 
находим
часто
-
ту
колебаний
: 

= 
2
cos
1
)
1
n
(
g
l
g
2
1






= 0,5 
Гц
Пример
 
№
 2.
Монохроматическая
поперечная
волна
с
длиной

= 18 
м
распространяется
в
направлении
оси
х
. 
Период
колебаний
частиц
в
волне
Т
=1
с
, 
амплитуда
А
=4 
см
. 
При
х
=0 
и
t=0 
фаза
волны
и
перемещение
точки
равны
нулю
. 
Найти
скорость
распространения

В
.
А
. 
Никитенко
, 
А
.
П
. 
Прунцев
129
волны
, 
фазу
и
перемещение
точки
, 
отстоящей
на
х
=40
м
от
источника
колебаний
, 
в
момент
времени
t=3
с
. 
Решение
. 
Уравнение
монохроматической
волны
, 
распростра
-
няющейся
вдоль
оси
х
имеет
вид
y = Asin

(t–

x
). 
Скорость
волны

=
c
м
18
T


, 
а
фаза

= 

(t–x/

) = 2

(t–x/

) / T = 4,88 
рад
Перемещение
заданной
точки
у
=4

10
-2
sin 4,88= –3,94

10
-2
м
. 
Пример
 
№
 3. 
К
батарее
с
напряжением
U=250 
В
присоединен
конденсатор
емкостью
С
=600 
пф
, 
затем
его
мгновенно
отсоединяют
и
подключают
к
катушке
с
индуктивностью
L=75
мГн
. 
Найти
началь
-
ный
заряд
конденсатора
, 
максимальную
силу
тока
в
контуре
, 
частоту
и
период
колебаний
, 
полную
энергию
колебаний
. 
Решение
.
Начальный
заряд
конденсатора
q
0
=
С
U=1,5

10
-7
Кл
. 
При
подключении
конденсатора
к
катушке
заряд
на
нем
меняется
с
течением
времени
по
закону
q= q
0
cos

t. 
Сила
тока
также
совершает
гармонические
колебания
: 
J = 
q

= –

q
0
sin

t = J
0
cos(

t+
2

), 
поэтому
максимальное
значение
силы
тока
J
0
= 

q
0
= q
0
/
LC
=22,4 
мА
. 
Согласно
формуле
Томсона
период
колебаний
Т
=2

LC
=42,1 
мкс
, 
а
частота
колебаний

=
Т
1
=23,7 
кГц
. 
Полная
энергия
колебаний
соответствует
максимальной
энер
-
гии
электрического
поля
, 
сосредоточенного
внутри
конденсатора
: 
W
C
= 
2
CU
2
=1,875

10
-5
Дж
. 
 
9.4. 
Глоссарий

Конспект
лекций
130 
Амплитуда
– 
модуль
наибольшей
величины
отклонения
сис
-
темы
от
положения
равновесия
. 
Волны
– 
изменения
некоторой
совокупности
физических
величин
(
полей
), 
способные
перемещаться
, 
уда
-
ляясь
от
места
их
возникновения
, 
или
совершать
колебания
в
ограниченной
области
пространст
-
ва
. 
Длина
волны
– 
расстояние
между
двумя
ближайшими
точками
волны
, 
имеющими
одинаковую
фазу
колебаний
.
Колебания
– 
движения
или
процессы
, 
повторяющиеся
во
времени
. 
Контур
колебательный
– 
замкнутая
электрическая
цепь
, 
состоящая
из
конденсатора
, 
катушки
и
электрического
сопро
-
тивления
. 
Маятник
математический
– 
материальная
точка
массой
m, 
подвешенная
на
нерастяжимой
невесомой
нити
и
совершающая
колебания
под
действием
силы
тяжести
. 
Маятник
пружинный
– 
груз
массой
m, 
подвешенный
на
абсолютно
уп
-
ругой
пружине
и
совершающий
гармонические
колебания
под
действием
упругой
силы
. 
Период
колебаний
– 
минимальный
промежуток
времени
, 
через
кото
-
рый
повторяется
одно
и
то
же
состояние
колеб
-
лющейся
системы
. 
Основные
 
вопросы
 
для
 
повторения
: 
 
1. 
Дайте
определение
колебаний
. 
Какие
параметры
характеризуют
колебания
? 
2. 
Приведите
примеры
гармонических
колебаний
и
дайте
их
графи
-
ческое
представление
. 
Каким
уравнением
они
описываются
? 
3. 
Введите
понятие
«
пружинный
маятник
». 
Запишите
формулу
для
расчета
периода
колебаний
пружинного
маятника
. 
4. 
Что
собой
представляет
математический
маятник
? 
Запишите
фор
-
мулу
для
расчета
периода
его
колебаний
. 

В
.
А
. 
Никитенко
, 
А
.
П
. 
Прунцев
131
5. 
Рассмотрите
основные
процессы
, 
происходящие
в
идеальном
элек
-
трическом
колебательном
контуре
. 
6. 
Что
такое
резонанс
? 
7. 
Дайте
определение
волны
. 
Какие
волны
вы
знаете
? 
Запишите
уравнение
плоской
волны
. 
8. 
Что
такое
длина
волны
? 
9. 
С
какой
скоростью
распространяются
электромагнитные
волны
? 
10. 
Рассмотрите
шкалу
электромагнитных
волн
. 

Конспект
лекций
132 
Лекция
 
№
 10 
 
10.1. 
Геометрическая
 
оптика
 
10.1.1. 
Скорость
 
света
. 
Законы
 
геометрической
 
оптики
 
Как
мы
уже
упоминали
, 
скорость
распространения
электро
-
магнитных
волн
(
в
частности
, 
света
) 
в
вакууме
равна
с
=3

10
8
м
/
с
. 
В
среде
скорость
волн
уменьшается

= 
n
с
с


, 
(10.1) 
где
знаменатель
n=

получил
название
 
абсолютный
 
показатель
 
преломления
 
данной
 
среды
. 
Таким
образом
, 
абсолютный
 
показатель
 
преломления
пока
-
зывает
, 
во
сколько
раз
скорость
электромагнитных
волн
в
среде
меньше
, 
чем
в
вакууме
. 
Так
как
частота
волны
не
зависит
от
среды
, 
в
которой
волна
распространяется
(
она
равна
частоте
колебаний
источника
), 
то
длина
волны
в
среде
связана
с
длиной
волны
в
вакууме
выражением

= 

/

= 

Т
= 
n
T
n
c
0


,
(10.2) 
т
.
е
. 
длина
волны
в
среде
уменьшается
в
n 
раз
. 
В
основе
геометрической
оптики
лежат
следующие
законы
: 
закон
 
прямолинейного
 
распространения
 
света
, 
закон
 
независимости
 
световых
 
лучей
; 
закон
 
отражения
 
света
 
и
 
закон
 
преломления
 
света
.
Закон
 
прямолинейного
 
распространения
 
указывает
, 
что
в
 
однородной
 
среде
 
свет
 
распространяется
 
прямолинейно
 
(
прямая
, 
показывающая
направление
распространения
света
, 
называется
све
-
товым
лучом
). 
Закон
 
независимости
 
световых
 
лучей
утверждает
, 
что
лучи
 
при
 
пересечении
 
не
 
влияют
 
друг
 
на
 
друга
.
Закон
 
отражения
 
света
устанавливает
, 
что
падающий
 
луч
, 
отраженный
 
луч
 
и
 
нормаль
, 
восстановленная
 
в
 
точке
 
падения
 
луча
 
на
 
отражающую
 
поверхность
, 
лежат
 
в
 
одной
 
плоскости
, 
при
 
этом
 
угол
 
падения
 

 
равен
 
углу
 
отражения
 

, 
рис
. 10.1. 

В
.
А
. 
Никитенко
, 
А
.
П
. 
Прунцев
133
Закон
 
преломления
 
света
 
гласит
, 
что
падающий
 
луч
, 
прелом
-
ленный
 
луч
 
и
 
нормаль
, 
восстанов
-
ленная
 
в
 
точке
 
падения
 
луча
 
на
 
преломляющую
 
поверхность
, 
ле
-
жат
 
в
 
одной
 
плоскости
, 
при
 
этом
 
отношение
 
синуса
 
угла
 
падения
 

 
к
 
синусу
 
угла
 
преломления
 

 
есть
 
величина
 
постоянная
 
для
 
данных
 
двух
 
сред
 
n
21
и
 
называется
 
отно
-
сительным
 
показателем
 
прелом
-
ления
 
второй
 
среды
 
относительно
 
первой
 
(
рис
. 10.1). 
2
1
1
2
21
n
n
n
sin
sin







.
(10.3) 
Из
формулы
(10.3) 
следует
, 
что
относительный
 
показатель
 
преломления
двух
сред
равен
отношению
их
абсолютных
показателей
преломления
: 
n
21
= n
2
/ n
1
. 
(10.4) 
При
отражении
и
преломлении
света
имеет
место
закон
обра
-
тимости
световых
лучей
, 
поэтому
n
21
= 
12
n
1
. 
(10.5) 
Абсолютный
показатель
преломления
воздуха
мало
отлича
-
ется
от
единицы
(
он
равен
1,0003), 
абсолютного
показателя
прелом
-
ления
вакуума
. 
Чем
выше
абсолютный
показатель
преломления
, 
тем
среда
считается
оптически
более
плотной
. 
Изображение
светящейся
точки
в
зеркале
(
или
в
линзе
) 
нахо
-
дится
на
пересечении
световых
лучей
или
продолжений
световых
лу
-
чей
, 
идущих
из
этой
точки
и
попадающих
в
глаз
наблюдателя
. 
Если
попадающие
в
глаз
лучи
от
светящейся
точки
сами
не
пересекаются
, 
а
пересекаются
их
продолжения
, 
то
изображение
назы
-
вается
мнимым
. 



=

n
1
n
2

n
2

n
1
n
1
Рис
. 10.1

Конспект
лекций
134 
На
рис
. 10.2 
построено
изображение
светящейся
точки
S 
в
плоском
зеркале
. 
Если
показатель
преломле
-
ния
n
1
среды
1 
больше
показателя
преломления
n
2
среды
2 (
см
. 
рис
. 
10.1), 
то
при
угле

пр
.
(
предельный
угол
) 
преломленный
луч
скользит
по
поверхности

жүктеу/скачать 1,26 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: