Курстқ жұмыс
Ляпунов функциясы жəне оның əр уақыттағы туындысы
жүктеу/скачать 417,36 Kb.
|
Êóðñò? æ?ìûñ
- Бұл бет үшін навигация:
- 2.3 Сызықтық емес жүйелердің тұрақтылығы туралы Ляпунов теоремасы
| 2.2 Ляпунов функциясы жəне оның əр уақыттағы туындысы
болғанда нөлге айналатын кез келген функцияны Ляпуновфункциясы деп атаймыз, егер онда сол айнымалы ауыспалы процесстердегi ауытқулары x1, x2,...,xn шамалар ретiнде алынса сол жүйе үшiн (1.1) теңдеулері жазылады. Ляпуновтың функциясынан туынды (1.3) əр уақытта Мұнда таңдалған теңдеулерден мағыналарын қоя отырып, Ляпуновтың функциясынан əр уақытта келесі түрдегі (1.1) туындыны аламыз мұнда X1, X2,..., Xn - өзiмен x1, x2,...,xn ауытқуларынан таңдалған функцияларды ұсынатын теңдеулердiң оң бөлiктерi (1.1). Демек, Ляпунов функциясынан туынды əр уақытта,сонымен қатар өзі сияқты ауытқулардың кейбiр функциясы болып табылады, яғни жəне де өз қасиетіне (1.2) сəйкес бұл W функциясы дəл V сияқты болғанда нөлге айналады. Сондықтан оған бiрдей дəрежеде тұрақтылық жəне жоғары айтылатын V функциясына қатысты түсініктерді қолдануға болады Бұл жерде мəселе тек теңдеулер туралы ғана болады, оларға t уақытнақты түрде кірмейді. Жалпы Ляпунов əдісі t уақыт нақты түрде болғанда дақолданылуы мүмкін, негізінен ауыспалы коэффиценттері бар теңдеулер үшін. Осы мəліметтерге сүйене отырып сызықтық емес жүйелердің тұрақтылығы мен тұрақсыздығы туралы Ляпунов теоремасының жалпытүсініктемесін береміз. Егер берілген реттеу жүйесінің бастапқы теңдеулері дұрыс болса бұл теоремалар реттеу жүйелерін үлкен жəне кіші ауытқулар кезінде де зерттеуге пайдаланылады. Кез - келген үлкен ауытқу кезінде жүйеніңтұрақтылығы қысқаша жалпы тұрақтылық деп аталады. 2.3 Сызықтық емес жүйелердің тұрақтылығы туралы Ляпунов теоремасы Теорема келесі түрде құрылады: егер п қатарындағы теңдеу жүйесі формасында берілген, уақыт бойынша туындысы W(x1,x2,..., xn )нақты болатын, бірақ V белгісіне карсы W(x1,x2,..., xn) туындысы болса ол жүйе тұрақты деп есептеледі.W нақты функциясы кезінде асимптотикалық тұрақтылық пайда болады Осы теореманың дұрыстығын геомтриялық мысалдармен сипаттайық. Жеңілдік үшін үшінші ретті жүйені алайық (п = 3). Ол үшін (1.1) теңдеудің жалпы түрі мынандай болады: Ляпуновтың тұрақты оң функциясын аламыз мұнда а, b, с – кез-келген нақты сандар. V мəніне V=0, C1,C2,C3, ...., өспелі нақты мəндерді береміз, бұл мынаны білдіреді. Бұл өрнектің біріншісі ғана x1 = x2 = x3 = 0 нүктесіне сай, ал қалғандары фазалық кеңістіктегі элипсоидтардың бетіне сай болады. Əр алдыңғы элипсоид келесі элипсоидтың (1.2 сурет) ішінде орналасады. Енді уақыт бойынша Ляпунов функциясынан туынды аламыз. (1.3) жəне (1.4) сəйкес мұнда X1, X2, X3 функциялары реттеу жүйесінің (1.5) берілген теңдеулерінен алынады. Егер осындай жолмен алынған W(x1, x2, xs) функциясы теріс нақты, т.б егер болса (x1=x2=x3=0 бойынша) координаттар басынан басқа зерттелетін фазалық кеңістіктің барлық нүктелерінде М нүктесі F азаю жағына қарай жылжиды, яғни элипсоидтарды қиып өтеді (1.2-сурет). 1.2 - сурет. Фазалық кеңістік Нəтижесінде уақыт ағымымен М бейнелеуші нүктесі О фазалық кеңістігінің координаттар басына ұмтылады жəне өзі кірген элипсоидтардың сыртына шыға алмайды Бұл уақыт ағымы бар өтпелі процесстерде барлық x1, x2,x3 ауытқулардың сөнетінін білдіреді. Осылайша осы реттеу жүйесінің тұрақтылығы анықталады. Бұл теореманың үшінші рет үшін дұрыс екенін көрсетеді. Осыдан теореманың жалпы жағдайда да дұрыс болатыны көрінеді. Пікірлер сол күйде қалады, тек үш теңдеу орнына n теңдеулер қолданылады. Бұрынғыдай Ляпуновтың барлық V (x1,x2,...,xn) =C нақты оң функциясы үшін бірқатар тұйық кеңістіктерді аламыз, бірақ олар енді үш өлшемді фазалық кеңістіктерде болады. Сондықтан туындысы нақты теріс болса n кеңістігіндегі М бейнелеуші нүктесінің траекториясы кез-келген бастапқы шарттарда көерсетілген кеңістіктерді ішінен сыртына қарай қиып өтеді. Бұл жүйенің тұрақты екенін көрсетеді. Қорытынды Бұл жұмыс негізінен Ляпунов функциясының құрылысына, кейбір үшінші ретті сызықты емес теңдеулердің барлық шешімдерінің жарты сызыққа созылатын қасиеттерін ашуға арналған. Жұмыста келесі ретті сызықтық емес теңдеулер қарастырылады: Қарастырылған теңдеулер үшін, Ляпунов функцияларын қолдана отырып, барлық шешімдердің жарты сызыққа дейін созылуы үшін жеткілікті жағдайлар аламыз. Үшінші ретті сызықты емес теңдеулердің созылу қасиетін анықтауға арналған Ляпунов функцияларын құрудың жоғарыда келтірілген мысалдары бұл функцияларды тұрақтылық мәселелерін нақтылау үшін ғана емес, сонымен қатар дифференциалдық жүйелер шешімдерінің басқа да қасиеттерін анықтау үшін пайдалану мүмкіндігін көрсетеді. Пайдаланылған әдебиеттер тізімі 1. Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4-е изд., М.: Наука, -- 1974., --- 331стр. 2. Горбунов А.Д., Некоторые вопросы качественной теории обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. М.: Учен. зап. ун-та, 165. Математика, 7 (1954), 39--78. 3. Ла-Салль Ж., Лефшец С., Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова, М.: Мир, 1964г. 4. Ющенко А.А., // Доклады АН БССР, т. 11, №10, 1967г. 5. Ющенко А.А., // Дифференциальные уравнения т.4 №11, 1968г. 6. Демидович Б.П., Лекции по математической теории устойчивости, М.: Наука, 1967г. 7. Барбашин Е.А., Функции Ляпунова, М.: Наука, 1970 жүктеу/скачать 417,36 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|