Математикалық ұғымдардың оқыту үдерісінде қолданылуы

Бұл бөлімде оқушылардың білім дәрежелерін көтеретін көрнекілік құралдарын ауқымды пайдалану керек. Одан бөлек ұғымдарды қалыптастыру процесінің бұл бөлімінде оқушыларды мектепке дейінгі және мектептен тыс алатын эмпирик ойларына қарамастан өту мүмкін емес.Олардан тирек білім ретінде пайдалану керек.

1) Оқушылардың тәжірибелері және меңгерген білімінен пайдалана отырып, ұғым туралы дұрыс ой қалыптастыру.

2) Анализ жасау, айырмашылықтарын анықтау жолымен ұғымдың мазмұнына кіру, сол сияқты оның ең негізгі белгілерін қолға алу.

3) Ұғымдың негізгі белгілерін синтетик жолмен қарау және оған анықтама беру.

4) Осы ұғымды нақты ұғымдар жүйесіне кіргізу және оны қолдану.

Ұғымдардың меңгерудің көрсетілген белгілеріне сәйкес олардың сандық көрсеткіштерін былай анықтауға болады:

Ұғымды меңгеру жоғарыда аталған белгілерді қанағаттандыруына байланысты оларды меңгерудің деңгейлері анықталады. Бірінші деңгейде оқушы ұғымның белгілерін көрсете алады. Бірақ елеулі белгілерін елеусіз белгілерінен ажырата алмайды. Екінші деңгейде оқушы ұғымның барлық елеулі белгілерін игереді, бірақ ұғым жекелеген бейнелерге тұсалып қалған, жалпыланбаған.

Үшінші деңгейде ұғым жалпыланған, бұрын негіз болған бейнелерге тұсалып қалмаған; ұғымның басқа ұғымдармен байланыстары меңгерілген және соның жәрдемімен оқушы ұғымды әртүрлі есептер шығарғанда еркін қолданады [15].

6-сурет

2) "кез келген үшбұрыштың биссектрисасы сол төбеден жүргізілген медиана және биіктікпен беттеседі немесе олардың арасында орналасады" ;

3) 

4 )

 

7-сурет
тұжырымдары дәлелденсе оқушылардың " үшбұрышбиссектрисасы" ұғымы жөнінде ой-өрісі кеңейген болар еді, биссектриса ұғымының үнемі даму үстінде болатындығына көз жеткізер еді.

Ұғымды оқушылардың тиянақты меңгеруі үшін әр мұғалім үшін сол ұғым туралы деректер жинап, оның даму кезеңдерін саралап және қай уақытта, қандай әдіспен оқыту керектігіне мұқият дайындалуы қажет, дәлірек айтсақ, әрбір ұғымға логикалық-әдістемелік талдау жасауы керек. Математикалық ұғымдарға жасалатын логикалық-әдістемелік талдаудың негізгі мақсаттары төмендегідей болуы керек:

1) ұғымның математика ғылымында пайда болуы және дамуы жолдарын саралау;

2) мектеп оқулықтарында және әдістемелік әдебиеттерде ұғымды баяндау тәсілдерін талдау;

3) ұғымның мектеп математикасындағы даму жолдарын болын;

4) ұғымдардың өзара байланыстарын айқындау;

5) негізгі ұғымдар, амал ұғымдар, қатынас- ұғымдар, заң ұғымдар және шама ұғымдар арасындағы байланыстарды терең ашуға болатын мүмкіншіліктерді жан- жақты білу;

6) қандай математикалық есептер ұғымдардың дамуына зор ықпал жасайды және оларды оқушылардың жас ерекшеліктерін, білім деңгейлерін еске ала отырып, қай мезгілде, қандай мөлшерде және қалай ұсыну жолдарын көрсету [16].

Қандай да бір ұғымдың көлемі және мазмұны болады. Ұғымға кіретін объекттер жиыны осы ұғымдың көлемін құрайды. Мысалы: «дұрыс төртбұрыш ұғымының көлемін қабырғаларының ұзындықтарының шамалары әр түрлі болатын (үлкен-кіші) дұрыс төртбұрыштар құрайды.

Ұғымдардың көлемдері арасындағы қатынастарды көрме сияқты көрсету үшін Леонард Эйлер дөңгелектерден қолдануды ұсынды. Сол себепті ұғымдардың көлемдері арасындағы қатынастарды сызбада «Эйлер дөңгелектері» деп атайды. Мұнда қандай да бір ұғымдың көлемі шартты түрде бір дөңгелек ретінде қабылданады. Егер дұрыс төртбұрыш ұғымын бір дөңгелек арқылы сызатын болсақ, қабырғалары әр түрлі болатын әрбір дұрыс төртбұрыш үшін осы дөңгелекте бір нүкте сай келеді(1-а сурет). Кейбір предметтер класына тиісті болған предметтер группасы үлкен дөңгелек ішінде орналасатын кіші дөңгелекпен белгіленеді.Мысалы:рационал сандарды 1-б суреттегі үлкен дөңгелек десек,бүтін сандарды кіші дөңгелек арқылы сызамыз.

Егер бір неше негізгі ұғымдар ортақ бір ұғымға біріксе, онда 1-в сурет шығады. Мұнда үлкен шеңбер сан ұғымына сай келсе, І дөңгелек натурал санға, ІІ дөңгелек бөлшек санға, ІІІ дөңгелек бүтін теріс санға сай және т.б.

Егер екі ұғымдың көлемдерісай келсе, онда бұл екі қиылысатын дөңгелектер арқылы бейнеленеді.Мысалы: 1-2 суретте осы екі ұғым сызба түрінде бейнеленген.

8-сурет
Егер жиындар тұрғысынан қарайтын болсақ, сан ұғымына 1-д суреттегі шеңберлер сай келеді. Мұнда N-натурал сандар жиынын,С-бүтін сандар жиынын, R-рационал сандар жиынын, Д-нақты сандар жиынын, К-комплекс сандар жиынын білдіреді.

Мектеп математика курсынан көлемдерді салыстыру мүмкін болатын қалағанша мысалкелтіруге болады. Мысалы: көпбұрыш, төртбұрыш, квадрат, ромб, трапеция. Бұл ұғымдарды Эйлер шеңберімен бейнелесе, трапеция параллелограмдар класына кірмейтіні нақты көрінеді. Көлем жағынан кең ұғымды жинс ұғымы, ал көлемі тар болатын ұғымды тур жағынан айырмашылығы деп айтылады. Басқаша айтқанда, егер бір ұғымдың көлемі екінші ұғым көлемінің бір бөлігін құраса, онда бірінші ұғым тур, екіншісі ұғымның тегі есептелінеді. Мысалы: көпбұрыш тектікұғым; үшбұрыш –түр ұғымы.

Ұғымның тегі тағы ортақ ұғымға қарағанда түр ұғымы рөлін береді. Мысалы: «көпбұрыш» геометриялық фигураның бір түрі. Түр ұғымы туралыда дәл осындай пікір айтуға болады. Мысалы, «үшбұрыш» ұғымы, «тең бүйірлі үшбұрыш»ұғымына қарағанда тектік ұғым қызметін атқарады.

Тектік белгілері деп мынадай белгілерге айтылады, нәрсе берілген тектік нәрселерге тиісті болады. Тур белгілері мынадай, олардың көмегімен бір нәрсені сол тектегі басқа нәрселерден айырмашылықтарын табу мүмкіндігін береді. Мысалы, «үшбұрыш» ұғымы үшін үш қабырғаға ие болған «көпбұрыш» ұғымы тектік ұғым;үшбұрышта дұрыс бұрыштың болуы тур белгісі, себебі ол үшбұрыштың жеке түрі- «дұрыс бұрышты үшбұрышты» көрсетеді.

Ұғымға кіретін объекттердің негізгі қасиеттерінің жиыны осы ұғымдың мазмұнын құрайды. Мысалы, «дұрыс төртбұрыш» ұғымының мазмұнын оның төмендегі қасиеттерінің жиыны құрайды; дөңес және ойыс қарама-қарсы қабырғалары тең және параллель, бұрыштары және диагоналдары тең және т. б.

Ұғымдың мазмұны оның көлемін және керісінше,ұғымдың көлемі оның мазмұнын анықтайды. Осыдан көрініп тұрғаныдай ұғым мазмұнының өзгеруі оның көлемінің өзгеруіне себеп болады. Демек ұғымдың мазмұны қаншалықты кең болса,оның көлемі соншалықты тар болады және керісінше, ұғымдың мазмұны қаншалықты тар болса оның көлемі соншалықты кең болады. Мысалы, «параллелограм» ұғымының көлемі параллелограмдың барлық түрлерінен тұрады, мазмұны «параллелограмдың төртбұрыштығы» және «параллелограмдың қарама-қарсы қабырғаларының жұп-жұбымен параллель болуы» құрайды. Енді «параллелограм» ұғымының мазмұнын құрайтын, айтып өтілген белгілерге жаңа белгі – «бұрыштың теңдігі»н қосатын болсақ онда «параллелограм» ұғымының көлемі қысқарады, бұл ұғымға шамалары әр түрлі болатын дұрыс төртбұрыштар, яғни барлық параллелограмдардың тек бір бөлігі кіреді. Ұғымдың көлемі қаншалықты қысқа болса, оның мазмұны соншалықты кең болады. Мысалы, «теңдеу» және «квадрат теңдеу» ұғымдарының біріншісін «түбірі бар» немесе «түбірі жоқ» деп айтуымыз мүмкін. Екіншісіне «квадрат теңдеудің екі түбірі болады», «квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы теңдеудің қарама-қарсы таңбамен алынатын екінші мүше коэффициентіне тең» және тағы басқада белгілерді айтуымыз мүмкін.

Ұғымдың мазмұнына кейбір объекттерге тиісті болатын белгілер қосымша ретінде қосылса, онда бұл жағдай ұғымды шектеуге алып келеді. Бұл пікірді дәлелдеу мақсатында төмендегі мысаларды қарастырайық:

1) көпбұрыш-төртбұрыш-параллелограм-дұрыс төртбұрыш-квадрат;

2) комплекс сан-иррационал сан-рационал сан-бүтін сан-натурал сан;

3) көпбұрыш –үшбұрыш-дұрыс бұрышты үшбұрыш-тең бүйірлі дұрыс бұрышты үшбұрыш.

Егер ұғымдың мазмұны қысқартырылса, яғни оның көлемі кеңейтілсе онда ұғымды жалпылау жұмысы орындалады. Мысалы, квадрат-дұрыс төртбұрыш-параллелограм-төртбұрыш-көпбұрыш-геометриялық фигура. Әр түрлі атауы бар пішін «геометриялық фигура» ұғымымен жалпыланады.

Ұғымды шектеу және жалпылау кезінде кейбір ұғымдардың көлемі басқа ұғымдарға қарағанда қысқарады, кейбірлері кеңейе түседі.

Жоғарыда айтылған пікірлерге назар аударатын болсақ, мынаны айтуымыз мүмкін, тур белгілерін түсіріп қалдыру нәтижесінде ұғымды жалпылауға ұмтылса, тектік белгілеріне қосымша қосу арқылы ұғымды шектеу жұмысын жүргізеді. Ұғымдарды бөлуде,бөлінетін ұғымға бағынатан тур ұғымдары көрсетіліп беріледі. Ұғымдар анық негізге көре болады.Мысалы, «үшбұрыш» ұғымын бөлгенде, оның қабырғаларының ұзындықтарына негізделсе, онда «тең қабырғалы үшбұрыш», «тең бүйірлі үшбұрыш» , «түрлі қабырғалы үшбұрыш» деп түрге бөлеміз. Ал, сол «үшбұрыш» ұғымын бөлектеуде оның бұрыштары айтылатын болса,онда оны «дұрыс бұрышты үшбұрыш», «сүйір бұрышты үшбұрыш», «доғал бұрышты үшбұрыш» сияқты бөліктерге бөлеміз. Мынаны айтып өтуіміз керек, оқушылыр ұғымдарды бөлуде көбінесе қателік жібереді. Оларға «үшбұрыштардың түрлерін айт» деген тапсырма берілсе, оқушылар «үшбұрыштың тең бүйірлі», «тең қабырғалы» және «дұрыс бұрышты» болады деп жауап береді. Демек, жіктеуді дұрыс түсінбегендіктен қателер туындайды.

Ұғымдарды бөліктеудің бір көрінісі бұл ұғымдарды классификациялау[17]. Бұған мысал келтірейік:

9-сурет
Ұғымдарды бірі екіншісіне қарама-қайшылықта болатын екі ұғымға жіктеу кезінде "емес" арқылы бөлінгенінің түрлік ұғымдары анықталмай қалады. Мысалы, тікбұрышты емес үшбұрыштың өзін не бұрыштарына, не қабырғаларына қатысты жіктеуге болады.

10-сурет

11-сурет

12-сурет
Төртбұрыштар үшін төмендегі классификациялық схеманы құруға болады.

13-сурет
Сол сияқты, түрдегі квадрат теңдеу түбірлерін тексергендеде классификацион схема (дихотомик болу)ны қолдану мүмкін («Дихотомия» грекше dicha-«екі» және tome-«бөлік» сөздерінен шыққан, қазақша «екі бөлікке бөлу» деген мағынаны білдіреді). Осындай бөлу кезінде ұғымдың көлемі бір-біріне қарама-қарсы екі топқа ажыратылады. Мәселен, сан ұғымын «теріс сандар» және «оң сандар» деп екі топқа бөлу мүмкін:

14-сурет

В. В. Давидовтың ұғымды жалпылау назариясында жалпылау пікірдің бағыты бойынша көбірек жалпы жағдайға, оның конкрет көрініске өту негізінде қалыптасуы керектігі идеасы алға тартылған. Дәл осы назарияның тағлымға беттестіру шартына көре бірінші сыныптан бастап оқушылыр математика және лингвистикаға байланысты бірнеше күрделі абстракт ұғымдарды меңгеру мүмкін.

Бастауыш сынып оқушыларына  сияқты абстрак ұғымдар жайлы балаларға білім беру кезінде оларға математикалық таңбалар, абстракт түрде түсіндіріледі. Алдымен жоғарыдағы белгілерді жазу дағдыларын қалыптастырылы, өзара қатынастары туралы пікір айтылады. Содан соң абстракт ұғымдар конкрет ұғымға айналдырылады. Мысалы, және т.б. немесе 2(алма) тең 2(кітапқа), 4(дәптерден) 3(дәптер) аз, 2 (жанғақ) 5 (жанғақ)тан аз және т. б. Дәл осындай назария негізінде лингвистикаға байланысты ұғымдар мынадай қалыптасуға ие. «Кітаптар» ұғымы мынадай түрде дәріс процесінде талдау жасалуы мүмкін: қанша әріптен құралған, қанша дыбыс бар, дауысты және дауыссыз дыбыстар саны қанша, қандай жалғаулар жалғанған және басқалар туралы мәліметтер айтылғаннан соң кітаптың өзі оқушыларға көрсетіледі [18].

Тағлым бұл назарияға сай, назариялық сипаттағы жалпы білімнен өту арқылы жүзеге асырылады.

П. Я. Гальперинның ақыл-ойды кезеңмен қалыптастыру назариясы ұғымдарды қалыптастыру процесін басқару және алгоритмдеуге мүмкіндік береді. Бірінші кезеңде жұмысты ориентірлеу негізі анықталады(бірінші тип ориентирлеуден салыстырмалы түрде, мұнда оқушыларға тапсырма қалай орындалуы туралы бағыт беріледі).

Екінші кезеңде жұмыс заттың көмегімен немесе оның бейнесі арқылы орындалады. Жұмысты материалдау деген атау дәл содан келіп шыққан.

Үшінші кезеңде жұмыс дауыстап сөйлеу арқылы практик манипуляциясыз, зат пен операциясыз өткізіледі.

Төртінші кезеңде жұмыс ішінде, өзі үшін сөйлеу нәтижесінде дүниеге келеді.

Бесінші кезеңде жұмыс ішкі дауыста-ойда жүзеге асырылады, яғни интероризация процесі жүзеге асырылады. Қабылданып жатқан ұғым баланың жеке білім фондына айналады.

Егер ұғым дәл анықталған болса, онда анықталатын ұғымға бағынышты барлық объектілер енеді де, бұл ұғымға тиісті емес бір де бір объект енбейді.

Оқушыларда математикалық ұғымдарды қалыптастырудың негізі болып, ең алдымен оқушыларға берілетін назариялық білімдер және мұғалім тарапынан құрастырылатын және басқарылатын оқушының өзіндік тәжірибелері есептелінеді. Оқушыларда математикалық ұғымдарды қалыптастыруда оқушылардың мектепке дейінгі және мектептен тыс игерген өмірлік тәжірибелеріне және білімдеріне ерекше назар аударудың маңызы үлкен.

Екіншіден оқушылар басқа пәндерді үйрену арқылы игерген білімдеріде ұғымдарды қалыптастыруда үлкен рөл ойнайды. Мысалы, бір ғана «географиялық қашықтық» ұғымын алатын болсақ,бұл ұғым мектепте үйренілетін физика, астрономия, математика, география сияқты төрт оқулықта кездеседі. Бұл жәйт предметтер арасындағы байланысты талдауды, яғни әрбір оқулық бойынша үйренілетін ұғымдар тізімін құрастыру және олардың жалпы бөлігін анықтауды келтіріп шығарады. Бұл жағдай өз кезеңінде пәндер арасындағы жалпыланған ұғымдарды жүзеге келтіреді.

Мынаны айтуымыз керек, оқушылар мектепке дейін және мектепке дейін және ектептен тыс игерген ұғымдарды мектеп курсында игеру керек болатын ұғымдар мен сай келмеуі, олардың бұрыс қалыптасуына себеп болуы мүмкін. Көбінесе тұрмыс тәжірибесінде меңгерген ұғымдар белгілерге сүйенбей ақ көрінеді. Бұл жағдай ғылыми ұғымдардың дұрыс қалыптасуына кері әсер етуі мүмкін. Л. О. Резников айтқаныдай «егер бала және үлкен кісі, оқушы және мұғалім, білімсіз мен білімділер сөзді әрқашан бір мағынада қолданғаныда еді, онда оқыту, тағлым беру, пікірін басқаларға жеткізу ешқандай қиыншылық тудырмаған болатын еді. Осыдан келіп шығады, оқушылардың тұрмыстық тәжірибелері қандай дәрежеде болуына қарамастан,оларда ұғымдарды қалыптастыру негіздері мектеп практикасында берілетін назариялық білімдер мен мұғалім басшылығында алып барылатын оқушыларддың өзіндік жұмыстары есептеленіді. Демек, оқушылар миында ғылыми ұғымдарды қалыптастырушы негізгі дәйек мектеп білімі болып есептелінеді.

Мынаны айта кетуіміз керек, оқушылардың өзіндік тәжірибелері олар игерген назариялық білімлерді тереңдету және кеңейтуге қызмет етумен бірге, егер оқушылардың өзіндік тәжірибелері оқу процесінде дұрыс бағытталмаса және бұрыс құралса, үйреніліп жатқан ұғымдар туралы дұрыс ой қалыптастыру мүмкін емес.

Оқушыларда математикалық ұғымдарды қалыптастыруда терминдердің күнделікті өмірдегі рөліде негізгі рөл ойнайды. Сол себепті И. М. Сеченов пікір жеке тәжірибесі құрамына кірген адамғағана түсінікті болуын айтқан[19].