Лагранж жəне эйлер айнымалы шамалары

Нүкте жəне бөлшектер. Тұтас ортада жүретін процестерді зерттегенде нүкте деген термин қолданалады. Бұл терминді екі мағанада қолдануға болады. Біріншісі бақлаушының қозғалмайтын кеңістігінің белгіленген нүктесі ретінде қарау. Екіншісі осы кеңістіктегі тұтас ортаның қозғалатын материальды нүктесі ретінде қарау. Сондықтан ары қарай нүкте термині кеңістіктің белгіленген нүктесін білдіретін болады. Тұтас ортаның материальды нүктелерін бөлшек деп атайтын боламыз. Сызық, бет немесе көлем сияқты геометриялық объектілерді қарағанда жəне бұл сөздерге кеңістіктік немесе материальдық деген сөздерді қосқанда (мысалы, кеңістіктік бет, материальдық көлем жəне тағы басқалар) осы фигуралар сəйкесті нүктелерден немесе бөлшектерден құралған деп есептейтін боламыз. Қарап отырған уақыт мезгелінде, байқаушының кеңістігіндегі кейбір D аймақты толтыратын шексіз көп материальды бөлшектер денені құрайды. Денені құрайтын бөлшектердің орналасуы, яғни оның құрама пішіні уақыт өткен сайын жалпы жағдайға өзгереді

Лагранж айнамалы шамасы. Тұтас ортаның қозғалысын зерттеген кезде тағы да екі түрлі көзқарас пайда болды.

Бірінші көзқарас Лагранж есімімен байланысты. Осы көзқарас бойынша зерттеу объектісі болып материальды бөлшектердің өздері саналады. Сонда тығыздық, температура, белгіленген материальды бөлшектің жылдамдығы сияқты кейбір скалярлық немесе векторлық мөлшерлердің уақытпен өзгеруі жəне тағыда осы мөлшерлердің бір бөлшектен екіншісіне өткен кезде өзгеруі қаралады. Басқаша айтқанда осы мөлшерлер уақыттан жəне аланған бөлшектің даралылығын сипаттайтын айнымалылардан функция ретінде қаралады

Екінші көзқарас бойынша айтылған жүйелердің бірінші жүйесі OX₁X ₂ X₃ декорттықкоординат жүйесімен жабдықталған үш өлшемді евклидов кеңістігінің кейбір D аймағын Ox₁ x₂ x₂ декорттық координат жүйесімен жабдықталған екінші үш өлшемді евилидов кеңістігінің Е аймағына тегіс бейнелеуді анықтайды. Уақыттың əр түрлі мезгілінде t дененің сырт пішінін анықтайтын бейнелеудің осындай тізбегі, тұтас ортаның қозғалысын жəне осы қозғалыспен байланысты деформацияны суреттейді. Бейнелеудің якобионы, осы бейнелеудің өте маңызды сипаттамасы болып саналады. Бейнелеу якобионының модулі қаралатын нүктедегі бейнелеудің бұрмалану коэффициенті болады. Осы коэффициент, шексіз кішкентай мөлшердің жоғарғы ретке дейінгі дəлдігімен, көрсетілген нүкте кіретін шексіз кішкентай аймақтың көлемі, оны бейнеленген кезде қанша рет өзгеретіндігін көрсетеді. якобионы нөльге айналмайтындығы осыдан шығады. Тағыда айтатын нəрсе, ол бейнелеу уақытпен үздіксіз байланысты жəне бастапқы уақытта (t = 0 ) тепе-теңдікті бейнелеудің якобионы бірге тең болғандықтан, ол ылғида оң болады.

Бастапқы уақыт мезгілінде ілеспелі жүйенің материальды координатты сызықтары түзу болады. Кез келген келесі уақыт мезгілінде осы ілеспелі жүйенің материальды координатты сызықтары тұтас ортаның бөлшектерімен бірге, осы жүйенің координатты сызықтарына қайтадан ауысады, бірақта жалпы жағдайда кисайып кетеді. Ілеспелі қисық сызықты координат жүйесі тұтас ортаға бектілген жəне осы ортамен бірге деформацияланады деп айтуға болады

Деформацияға дейінгі жазықтықтар мен түзулер деформациядан кейін де жазықтар мен түзулер болып қалатын өте кішкентай кесіндіні, ауданды, көлемді деформацияланатын ортадан таңдап алуға болады. Осылай деформацияланатын ортада сфера эллипске айналатындығы бұрын айтылды. Осындай басқа түрге айналу сызықтық немесе аффиндік деп аталады

Эйлер айнамалы шамасы. Эйлер есімімен байланысты екінші пікір бойынша, зерттеу объектісі болып қозғалмайтын бақылаушы кеңістігі қабылданады немесе қозғалатын ортамен толтырылған оның белгіленген бөлігі қабылданады. Қозғалысты сипаттайтын əр түрлі мөлшерлер нүкте жəне уақыт функциясы болып саналады, яғни Эйлер айнымалы шамасы деп аталатын үш аргумент i x жəне уақыт t –ның функциясы болады.

Эйлердің ойы бойынша, зерттеу объектісі болып əр түрлі өрістер (скалярлық, векторлық немесе тензорлық) есептеледі. Осы өрістер тұтас ортаның қозғалысын сипаттайды

Эйлерлік айнымалы шамалардан Лагранждық айнымалы шамаларға ауысу. Сонымен Лагранждың көзқарасы бойынша біздің назарымызға жеке бөлшек жылдамдығының, қысымының, температурасының жəне басқа мөлшерлерінің өзгеру заңдары түседі. Ал Эйлердің көзқарасы бойынша біздің назарымызға кеңістіктің берілген нүктесінде осы шамалардың өзгеру заңдары түседі.