часть называется дугой окружности, точки пересечения концами дуги.
Заметим, что дуга задается своими концами, вообще говоря, неоднозначно,
т.к. существуют две дуги
_
AB
с концами в точках
A
и
B
(см. рис. )
Определение 45. Говорят, что простая ломаная
A
1
. . . A
n
вписана в дугу
_
AB
, если ее концы совпадают с концами дуги, а остальные вершины ле-
4.3. ДЛИНА ДУГИ ОКРУЖНОСТИ
59
жат на дуге
_
AB
(см. рис. 4.3.3). Будем обозначать
V
(
_
AB
)
множество всех
ломаных, вписанных в дугу
_
AB
, а
|V
(
_
AB
)
|
множество их длин.
A
0
=
A
A
1
A
2
. . .
A
n
=
B
Рис. 4.3: Ломаная вписана в дугу.
Определение 46. Дуги называют равными, если у них равны радиусы
и угловые меры.
Определение 47. Длиной дуги (обозначают
|
_
AB
|
называют точную
верхнюю грань длин вписанных в нее ломаных, т.е.
|
_
AB
|
= sup
|V
(
_
AB
)
|
.
Указанная точная верхняя грань, очевидно, существует, поскольку дли-
ны ломанных не превосходят периметра многоугольника, описанного около
окружности.
Утверждение 10. Длины равных дуг равны.
Доказательство.
Действительно, допустим даны дуги
_
AB
и
_
A
0
B
0
, у которых равны радиусы
и угловые меры. Тогда любой ломаной
A
1
A
2
...A
n
? V
(
_
AB
)
, вписанной в
_
AB
можно поставить в соответствие ломаную
A
0
1
A
0
2
...A
0
n
? V
(
_
AB
)
, вписанную
в
_
A
0
B
0
, причем
|
A
1
...A
n
|
=
|
A
0
1
...A
0
n
|
. Следовательно, множества
|V
(
_
AB
)
и
|V
(
_
A
0
B
0
)
состоят из одних и тех же элементов, значит совпадают и их
sup
.
Теорема 12 (Аддитивность длины дуги). Пусть точка
B
расположена
на дуге
_
AC,
тогда
|
_
AB
|
+
|
_
BC
|
=
|
_
AC
|
. Другими словами, длина дуги,
составленной из двух других равна сумме длин этих дуг.
|
