Лекции и упражнения

3.6. НЕРАВЕНСТВО КОШИ.
43
Упражнение 81. Доказать, что двузначные числа от
00
до
99
можно запи-
сать в таком порядке, что в каждом следующем отличается от предыдущего
только одна цифра и ровно на
1
. Доказать аналогичное утверждение для
трјхзначных чисел (
000
, . . . ,
999
), четырјхзначных и.т.д.
Упражнение 82. Последовательность
2
,
3
,
5
,
9
, . . .
составлена по такому
правилу: если из утроенного члена этой последовательности вычесть удво-
енный предыдущий, то получится следующий (
3
·
3
?
2
·
2 = 5
,
3
·
5
?
2
·
3 = 9
и.т.д.). Доказать, что все члены этой последовательности  степени двойки,
увеличенные на
1
.
Упражнение 83. В стране
n
городов. Каждый год открывается авиасооб-
щение между какими-то двумя городами. Доказать, что должно пройти по
крайней мере
n
?
1
лет, прежде чем из любого города можно будет попасть
в любой (с пересадками).
Упражнение 84. На доске написаны два числа
1
,
1
. Затем между ними
вписывают их сумму; получается
1
,
2
,
1
. Затем между каждыми двумя снова
вписывают их сумму:
1
,
3
,
2
,
3
,
1
. Такое действие выполняют
n
раз. Сколько
чисел будет на доске? Какова будет их сумма?
Упражнение 85. Из чисел
1
,
2
,
3
,
4
, . . . ,
2
n
?
1
,
2
n
можно выбрать не более
n
чисел, если требуется, чтобы ни одно из выбранных чисел не делилось на
другое. Доказать это а) для
n
= 3
; б) для
n
= 4
; в) для
n
= 5
; г) для
произвольного
n
.
Упражнение 86. * В теории относительности скорости складываются по
такому правилу:
v, w
7?
v
+
w
1+
vw
. Доказать, что результат сложения несколь-
ких скоростей не зависит от того, в каком порядке мы их складываем.
Упражнение 87. * Можно ли отметить на плоскости несколько точек так,
чтобы на расстоянии 1 от каждой отмеченной точки находилось ровно 10
отмеченных?
Упражнение 88. * Один выпуклый многоугольник расположен внутри
другого. Доказать, что периметр внутреннего многоугольника меньше пе-
риметра внешнего.
Упражнение 89. Докажите утверждение 3.
Упражнение 90. Вывести формулу Ньютона для
(
a
+
b
)
n
.
Упражнение 91. Найти сумму
C
0
n
+
C
1
n
+
. . .
+
C
n
n
.
Упражнение 92. Найти сумму
C
0
n
?
C
1
n
+
. . .
+ (
?
1)
n
·
C
n
n
.
Упражнение 93. Найдите ошибку в рассуждении (www.habrahabr.ru):
Легко доказать (например по-индукции), что
1+ 2+ 3+
. . .
+
n
=
n
(
n
+1)
2
для
любого
n
?
N
. Применим эту формулу для
n
?
1
, получим
1 + 2 + 3 +
. . .
+
+(
n
?
1) =
(
n
?
1)
n
2
.
Прибавим по единице к обеим частям:
1+2+3+
. . .
+(
n
?
?
1)+1 =
(
n
?
1)
n
2
+1
.
Упрощая, получаем:
1+2+3+
. . .
+
n
=
(
n
?
1)
n
2
+1
.
Чему

44
ГЛАВА 3. ИНДУКЦИЯ
равна сумма в левой части этого равенства мы записали в самом начале,
следовательно,
n
(
n
+1)
2
=
(
n
?
1)
n
2
+ 1
.
Раскрываем скобки:
n
2
2
+
n
2
=
n
2
2
?
n
2
+ 1
.
Упрощаем, и получаем, что
n
= 1
.
Так как
n
было произвольным, то мы
доказали, что все натуральные числа равны 1.
3.6.2 Неравенство Бернулли
Упражнение 94. Каждый год
1%
радиоактивного вещества (оставшегося
к началу года) распадается. a) Доказать, что через
30
лет останется более
70%
вещества. b*) Доказать, что через
30
лет останется менее
80%
вещества.
Упражнение 95. Указать (какое-либо) натуральное
n
, при котором: а)
0
,
99
n
6
6
1
/
10
; b)
n
?
10
6
1
,
01
; c)
n
?
0
,
1
>
0
,
99
.
Упражнение 96. Доказать, что при целом неотрицательном
n
и при
0
6
6
h
?
1
выполнено неравенство
(1
?
h
)
n
>
1
?
nh
.
Упражнение 97. Доказать, что
1
,
01
2
n
>
n
2
/
10
4
.
Упражнение 98. Доказать, что при некотором целом
n >
0
число
1
,
01
n
будет больше числа
1000
n
.
Упражнение 99. При каких натуральных
n
выполнено неравенство a)
2
n
>
> n
? b)
2
n
> n
2
?
Упражнение 100. Доказать, что
2
n
>
n
10
при
n
>
100
.
Упражнение 101. Доказать, что
n
n
+1
>
(
n
+ 1)
n
при
n >
2
.
Упражнение 102. Доказать, что при целом неотрицательном
n
и при
0
6
h
?
1
выполнено неравенство
(1
?
h
)
n
6
1
?
nh
+
n
2
h
2
.
Упражнение 103. Известно, что
a
1
, . . . , a
n
>
0
и что
a
1
+
a
2
+
. . .
+
a
n
=
1
10
.
Доказать, что a)
(1
?
a
1
)(1
?
a
2
)
. . .
(1
?
a
n
)
>
9
10
; b)
(1 +
a
1
)(1 +
a
2
)
. . .
(1 +
+
a
n
)
>
11
10
; c)
(1 +
a
1
)(1 +
a
2
)
·
. . .
·
(1 +
a
n
)
6
10
9
.
Упражнение 104. Известно, что
a
1
, a
2
, . . . , a
100
>
0
и что
(1 +
a
1
)(1 +
+
a
2
)
·
. . .
·
(1 +
a
100
)
6
100
.
Доказать, что найдјтся такое
i
, что
a
i
6
1
i
.
Упражнение 105. Доказать, что
1
·
3
·
5
·
...
·
99
2
·
4
·
6
·
...
·
100
<
1
10
.
Упражнение 106. Все числа бесконечной последовательности
a
0
, a
1
, a
2
, . . .
положительны и не превосходят
100
. Доказать, что найдјтся такое
k
, что
a
k
+1
a
k
<
1
,
001
.
Упражнение 107. Доказать, что при некотором целом
n >
0
выполнено
неравенство
n
100
2
n
<
10
?
3
.

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: