Глава 4
Числовые множества
В математике используются следующие обозначения для числовых мно-
жеств:
N
Множество натуральных чисел. Это числа, используемые при сче-
те: 1,2,3, . . . , 2013, и.т.д.
Z
Множество целых чисел. Это натуральные числа, взятые со знаком
ѕ+ї или ѕї , а также 0:
0
,
±
1
,
±
2
,
±
3
, . . . ,
±
2013
,
и.т.д.
Q
Множество рациональных чисел. Это числа, получающиеся при де-
лении целого числа на натуральное, т.е. дроби. Более формально,
Q
=
m
n
|
m
?
Z
, n
?
N
.
R
Множество действительных чисел. Можно понимать действитель-
ные числа как точки на числовой прямой или бесконечные десятичные
дроби. Строгое определение этого понятия будет дано в конце семест-
ра.
Замечание. Выполнено включение:
N
?
Z
?
Q
?
R
. В повседневной жиз-
ни мы, обычно, используем только рациональные числа. Возникает вопрос,
нужны ли действительные числа, да и вообще, существуют ли числа, не
являющиеся иррациональными? На этот вопрос отвечает следующее утвер-
ждение:
Утверждение 4.
?
2
/
?
Q
.
Доказательство.
Доказательство будем проводить методом ѕот противногої. предположим,
что
?
2
?
Q
. Тогда
?
2
представим в виде несократимой дроби
m
n
, так как
из произвольной дроби всегда можно получить несократимую, сократив
на наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Тогда
2 =
m
2
n
2
,
следовательно
2
n
2
=
m
2
, а значит
m
кратно двум. Обозначим
m
= 2
m
1
.
Тогда
n
2
= 2
m
2
1
, следовательно
n
тоже кратно двум, что и приводит к
противоречию с несократимостью дроби
m
n
.
45
