Лекции и упражнения
жүктеу/скачать 1,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Matan Lectures 2013
ГЛАВА 4. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА Замечание. Аналогично доказывается, что ? 3 / ? Q , ? 5 / ? Q , . . . и, вообще, ? n / ? Q , если n не является точным квадратом (квадратом целого числа). Напомним, что декартовым произведенеим множеств A и B называется множество пар ( a, b ) , где a ? A , b ? B . Если множества A и B совпадают, то используется обозначение A 2 = { ( a 1 , a 2 ) : a 1 , 2 ? A } . В частности, для множества всех пар действительных чисел использует- ся обозначение R 2 . Наглядным представлением R 2 служит декартова коор- динатная плоскость, на которой каждой точке ставится в соответствие па- ра действительных чисел ее координаты. Аналогично можно определить R 3 множество троек ( x, y, z ) , x, y, z ? R и поставить им в соответствие точки трехмерного пространства. В дальнейшем в этом разделе будут рассматриваются различные под- множества множества действительных чисел R и их свойства. Соответ- ственно R является объемлющим множеством и под дополнением A в дан- ном разделе (если специально не оговорено) понимается A = R \ A . 4.1 Аксиомы действительных чисел. Французского школьника, мальчика лет восьми, спросили, сколько будет 2 + 3 . Он был отличник по математике, но считать не умел, потому что там так учат математике. Он не знал, что это будет пять, но он ответил, как отличник, так, чтобы ему поставили пятерку: ѕ 2 + 3 будет 3 + 2 , потому что сложение коммутативно.ї акад. В.И.Арнольд, доклад на конференции ѕМатематика и общество. Математическое образование на рубеже вековї Напомним утверждения, выполненые для всех действительных чисел, которые принимаются без доказательства, т.е. аксиомы. 1. Коммутативность сложения. Для любых a, b ? R выполнено a + b = b + a . 2. Ассоциативность сложения Для любых a, b, c ? R выполнено ( a + b ) + c = a + ( b + c ) . 3. Существование нуля (элемента, нейтрального относительно сложения). 4.1. АКСИОМЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. 47 Существует 0 ? R , такое, что для любого a ? R выполнено a + 0 = 0 + + a = a . 4. Существование противоположного числа (обратного относи- тельно сложения). Для любого a ? R существует ? a ? R , такое, что a + ( ? a ) = ( ? a ) + + a = 0 . 5. Коммутативность умножения Для любых a, b ? R выполнено a · b = b · a . 6. Ассоциативность умножения. Для любых a, b, c ? R выполнено ( a · b ) · c = a · ( b · c ) . 7. Существование единицы (элемента нейтрального относитель- но умножения). Существует число 1 ? R , такое, что для любого a ? R выполнено 1 · a = a · 1 = a . 8. Существование обратного числа (относительно умножения). Для любого числа a 6 = 0 существует число 1 a ? R , такое, что a · 1 a = = 1 a · a = 1 . 9. Дистрибутивность умножения относительно сложения Для любых трјх действительных чисел a , b и c верно равенство a · ( b + + c ) = a · b + a · c . 10. Симметричность сравнения Для любого a выполнено a 6 a ; 11. Транзитивность сравнения Если a 6 b и b 6 c , то a 6 c ; 12. Сравнимость чисел Для любых a, b выполнено по крайней мере од- но из нераыенств a 6 b или b 6 a , причем оба неравенства выполнены только если a = b ; 13. Монотоннность операции умножения) Если a 6 b и 0 6 c , то a · c 6 b · c ; 14. Аксиома Архимеда Для любых a, b > 0 существует n ? N , такое, что na > b ; 15. Аксиома отделимости Пусть множества A, B таковы, что ? a ? A ? b ? B a 6 b . Тогда суще- ствует число c такое, что ? a ? A ? b ? B a ? c ? b . Аксиоматический метод позволяет использовать числа как некоторые ѕсущностиї, с которыми можно работать по определенным правилам (ак- сиомам и вытекающим из них, например ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 ). Позднее будут предложены другие методы задания чисел. |