Лекции и упражнения
жүктеу/скачать 1,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Matan Lectures 2013
ГЛАВА 4. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА Определение 48. Рассмотрим плоский угол, вершина которого совпадает с центром окружности радиуса R = 1 . Радианной мерой угла называют длину дуги, высекаемой сторонами этого угла. Утверждение 11. Пусть плоский угол имеет меру ? градусов. Тогда его радианная мера есть ? = ? 180 · ?. Доказательство. Доказано будет утверждение, когда ? ? Q , для произвольного действитель- ного ? утверждение будет доказано позднее. Пусть ? = m n , разобьем дугу в 180 ? на 180 n равных частей. Из аддитивности длины дуги вытекает, что длина каждой из частей равна ? 180 n . Взяв m таких частей, получим дугу длины m? 180 n = ? 180 · ?. Таким образом, радианная мера есть линейная замена градусной меры. Исходя из определения 11 составим таблицу соответствия градусной и ра- дианной меры для некоторых углов. ? ? 0 ? 30 ? 45 ? 60 ? 90 ? 180 ? 270 ? 360 ? ? 0 ? 6 ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? O A 0 0 = A A 0 1 A 0 2 . . . A 0 m = B 0 A 0 = A A 1 A 2 . . . A m = B Рис. 4.5: Гомотетия вписанных ломаных. Утверждение 12. Если в окружности радиуса R задана дуга _ AB угловая мера которой равна ? (радиан), то длина дуги вычисляется по формуле: | _ AB | = R?. 4.3. ДЛИНА ДУГИ ОКРУЖНОСТИ 63 Доказательство. Выберем дугу _ A 0 B 0 в единичной окружности. Для любой ломаной, вписаной в _ A 0 B 0 сделаем гомотетию с коэффициентом, равным R (см. рис. 4.3.4). Очевидно, ломаная перейдет в ломаную, вписанную в дугу _ AB , а ее дли- на увеличится (или уменьшится, если R < 1 ) в R раз. Т.В.Г. длин ломаных, вписанных в _ A 0 B 0 равна ? , следовательно, для ломаных, вписанных в _ AB она равна R? . |