Лекции и упражнения

Глава 5
Мощность множества
Мощность множества. Числовые множества.
5.1 Счетные множества.
Еще в XVII веке Галилео Галилей задал вопрос: Каких чисел больше 
натуральных или точных квадратов. С одной стороны, не все натуральные
числа являются точными квадратами, более того, квадраты идут все реже
и реже. Например, между числами 1 000 001 и 1 002 000 нет ни одного
точного квадрата.
Упражнение 147. Докажите это.
С другой стороны, каждому натуральному числу можно поставить в
соответствие его квадрат.
В итоге Галилей приходит к выводу: Я не вижу возможности никакого
другого решения, как признать, что бесконечно количество чисел вообще,
бесконечно число квадратов, бесконечно и число корней. Нельзя сказать,
что число квадратов меньше количества всех чисел, а последнее больше: в
конечном выводе свойства равенства, а также большей и меньшей вели-
чины не имеют места там, где дело идет о бесконечности, и применимы
только к конечным количествам.
Для разрешения подобных парадоксов было предложено понятие мощ-
ности множества. Пока мы не можем строго определить что такое мощ-
ность
1
, но можем описать множества, у которых она одинаковая.
Приведем сначала неформальное определение:
Представьте, что в большой аудитории стоят стулья и по ней бегают
школьники. Как определить, что количество стульев равно количеству
школьников? Конечно, можно пересчитать тех и других, но аудитория
большая, школьники бегают  легко сбиться при подсчете... Поэтому
1
Для любопытных приведем здесь ссылку:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Мощность_множества
65

66

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: