Лекции и упражнения

4.2. ТОЧНАЯ ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНЬ МНОЖЕСТВА.
51
и пусть
?
0
=
a
0
?
a
. Тогда
U
?
0
(
a
0
)
не содержит элементов
A
, что про-
тиворечит предыдущему пункту.
3. Если
a
?
A
, то
a
?
a
0
, умножим обе части на
r
, получим
ra
?
ra
0
, сле-
довательно,
ra
0
является верхней грань
rA
. Докажем, что она точная.
Для произвольного
? >
0
можно выбрать
a
?
A
, такое, что
a > a
0
?
eps
r
.
Тогда
ra > ra
0
?
?
, следовательно,
ra
0
?
?
не является верхней гранью
rA
.
4. Если
a
?
A
,
b
?
B
, то
a
?
a
0
,
b
?
b
0
, следовательно,
a
0
+
b
0
является
верхней гранью
A
+
B
. Докажем, что она точная. Зафиксируем
? >
0
и
выберем
a > a
0
?
?
2
и
b > b
0
?
?
2
. Тогда
a
+
b > a
0
+
b
0
?
?
, следовательно,
a
0
+
b
0
?
?
не является верхней гранью.
5. Пусть
a
?
A
, тогда
a
?
a
0
, следовательно,
?
a
? ?
a
0
, т.е.
?
a
0
 ниж-
няя грань. Докажем, что она точная. Зафиксируем
? >
0
и выберем
a > a
0
?
?
. Тогда
?
a <
?
a
0
+
?
, т.е.
?
a
0
+
?
не является нижней гранью.
Упражнение 110. Сформулируйте и докажите аналогичные утверждения
для точной нижней грани.
Определение 37. Пусть множества
A
и
B
таковы, что при всех
a
?
A
и
b
?
B
выполнено
a
6
b
. Тогда это обозначают так:
A
?
B
.
4.2.2 Аксиома отделимости.
В качестве дополнительной (к приведенным в разделе 4.1 аксиомам) в опре-
делении множества действительных чисел выступает следующая аксиома:
Аксиома отделимости. Пусть даны два непустых множества
A, B
?
R
,
такие, что
A
?
B
. Тогда найдется такое число
c
, что
A
?
c
?
B
.
Аксиома отделимости говорит о весьма важном свойстве множества дей-
ствительных чисел  непрерывности, то есть о том, что в нем нет ѕдырокї.
Если посмотреть, например, на множество рациональных чисел, то можно
увидеть, что для него эта аксиома неверна.
Возникает вопрос, у каких множеств вообще существует точная верхняя
(или нижняя) грань. Очевидно, что у множеств, не ограниченных сверху
(например
N
) верхней грани (а значит и точной верхней грани) не суще-
ствует. Следующая теорема дает ответ на этот вопрос для ограниченных
множеств:
Теорема 7. Если непустое множество
A
?
R
ограничено сверху, то су-
ществует
sup
A
 его точная верхняя грань.
Доказательство.
Рассмотрим
B
 множество всех верхних граней множества
A
. Оно не пу-
сто, т.к. по условию
A
?
M
, следовательно
M
?
B
. Из определения верхней
грани
A
?
B
, тогда, по аксиоме отделимости, существует разделяющая

52
ГЛАВА 4. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
точка
c
, такая, что
A
?
c
?
B
. Докажем, что эта точка и есть
sup
A
. Дей-
ствительно, поскольку
A
?
c
, то она есть верхняя грань множества
A
. Рас-
смотрим произвольную
a
0
< a
. Поскольку
a
0
< a
?
B
, то
a
0
/
?
B
, а значит,
a
0
не является верхней гранью
A
.
Теорема 8. Если непустое множество
A
ограничено снизу, то существу-
ет его точная нижняя грань,
inf
A
.
Упражнение 111. Доказать теорему 8.
Упражнение 112. Пусть существует
sup
A
и
A
0
?
A
. Докажите, что су-
ществует
sup
A
0
и
sup
A
0
?
sup
A
.
4.2.3 Дедекиндовы сечения*
Немецкий математик Юлиус Дедекинд (18311916) предложил использо-
вать указанную конструкцию (
A
?
c
?
B
) в качестве строгого определения
действительного числа. Заметим, что в школьной математике действитель-
ное число понимается скорее интуитивно, строгого определения обычно не
приводится.
1
Определение 38. Упорядоченнная пара непустых множеств
A
6
B
назы-
вается сечением в
Q
, а сами множества
A
и
B
 нижним и верхним классами
данного сечения, если
Q
=
A
?
B
. Сечение мы будем обозначать
A
|
B
.
Определение 39. Множество
L
называется непрерывным (по Дедекинду),
если каково бы ни было его сечение, либо в нижнем классе сечения суще-
ствует наибольший элемент, либо в верхнем классе существует наименьший
элемент, (такие сечения называются дедекиндовыми).
Рассмотрим множество рациональных чисел
Q
. Легко видеть, что в нјм
не может быть ѕскачковї: если
a
 максимальный элемент нижнего клас-
са,
b
минимальный элемент верхнего класса, то число
(
a
+
b
)
/
2
, лежащее
посередине между
a
и
b,
не может принадлежать ни нижнему, ни верхнему
классу, что противоречит определению сечения.
Вместе с тем, во множестве рациональных чисел есть ѕпробелыї  как
раз на тех местах, где должны находиться иррациональные числа. Рассмот-
рим, например, сечение
A
|
B
, определяемое множествами
A
=
{
x
?
Q
:
x
2
<
2)
} ?
(
??
,
0)
,
B
=
{
x
?
Q
:
x >
0
?
x
2
>
2
}
Нетрудно видеть, что это действительно сечение, однако в нижнем клас-
се нет максимального элемента, а в верхнем нет минимального. То есть име-
ем ѕпробелї. Итак, множество
Q
не является непрерывным по Дедекинду.
Определение 40. Будем называть сечения
A
|
B
, для которых существует
max(
A
)
или
min(
B
)
рациональными, а все остальные сечения  иррацио-
нальными.
1
Желающие
узнать
более
подробно
могут
посмотреть:
http
:
:
//ru.wikipedia.org/wiki/
Конструктивные_способы_определения_вещественного_числа

4.2. ТОЧНАЯ ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНЬ МНОЖЕСТВА.
53
Всякому рациональному сечению ставим в соответствие рациональное
число
max(
A
)
или
min(
B
)
. Для всякого иррационального сечения
A
|
B
при-
соединяем к совокупности
Q
новый элемент (иррациональное число)
?,
ко-
торый по определению больше всякого числа из
A
, и меньше всякого числа
из
B
. Тем самым мы заполняем ѕпустое местої между классами сечения.
Мы будем говорить, что сечение
A
|
B
определяет иррациональное число
?
.
Определение 41. Иррациональным числом называется иррациональное
сечение
?
= (
A
|
B
)
. Множество всех таких чисел (сечений) обозначается
Ї
Q
.
Определение 42. Множеством действительных чисел
R
d
называется объ-
единение множеств рациональных и иррациональных чисел
R
d
=
Q
?
Ї
Q
.
Всякий элемент множества
R
d
называется действительным числом.
Введем отношение порядка на
R
d
. Будем говорить , что сечение
A
|
B
не превосходит
A
0
|
B
0
и обозначать это
A
|
B
?
A
0
|
B
0
, если
A
?
B
0
. Будем
говорить, что сечения
(
A
|
B
)
и
(
A
0
|
B
0
)
равны и обозначать
A
|
B
=
A
0
B
0
, если
(
A
|
B
)
?
(
A
0
|
B
0
)
и
(
A
0
|
B
0
)
?
(
A
|
B
)
. В противном случае будем говорить, что
сечения не равны:
A
|
B
6
=
A
0
|
B
0
.
Замечание Равные сечения не обязательно задаются одинаковыми мно-
жествами, так, например,
{
x
6
2
}|{
x >
2
}
=
{
x <
2
}|{
x
>
2
}
Операции сложения и умножения вводятся на множестве действитель-
ных чисел по непрерывности (точно также как и в теории бесконечных де-
сятичных дробей). Именно, суммой двух действительных чисел
?
= (
A
1
|
A
2
)
и
?
= (
B
1
|
B
2
)
называется действительное число
?
= (
A
1
+
B
1
|
A
2
+
B
2
)
.
Умножение сначала определяется для положительных чисел как
?
Ч
?
=
= (
{
x
6
0
} ? {
ab
:
a
?
A
+
, b
?
B
+
}
, а потом переносится на отрицательные
числа по обычным правилам, и т.д.
Дедекинд показал, что таким образом можно построить арифметику
действительных чисел чисто формально, не прибегая к геометрическим ана-
логиям.
Заметим, что при таком задании
R
d
аксиома непрерывности становится
теоремой:
Теорема 9 (Дедекинд). Пусть
A
,
B ?
R
d
, т.е. некоторые множества
сечений и
A ? B
. Тогда существует сечение
(
C
1
|
C
2
)
?
R
d
, такое, что
A ?
(
C
1
|
C
2
)
? B
.
Другие аксиомы (коммутативности, ассоциативности, дистрибутивно-
сти, ...) вытекают из соответствующих свойств рациональных чисел.
Упражнения
Упражнение 113. Нарисовать на числовой оси те числа
x
, для которых
[
x
] = [
x
+ 2
/
3]
.

54

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: