Лекции и упражнения
жүктеу/скачать 1,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Matan Lectures 2013
ГЛАВА 4. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА Упражнение 114. Обозначая дни недели от воскресенья до субботы чис- лами 0 , 1 , 2 , . . . , 6 , Вася придумал формулу день недели = 7 · { число / 7 } , которая годится, если первое число месяца было понедельником. Как надо еј изменить, если первое число месяца было пятницей? Упражнение 115. Всегда ли верны формулы [[ x + y ] + z ] = [ x + [ y + z ]] и {{ x + y } + z } = { x + { y + z }} ? Упражнение 116. Доказать, что (при всех x ) [ x ] + [ x + 1 n ] + [ x + 2 n ] + . . . + + [ x + n ? 1 n ] = [ nx ] . Упражнение 117. Существует ли такое x , что [ x ] + [2 x ] + [3 x ] + [4 x ] = 99 ? Упражнение 118. Найти сумму [ ? 1] + [ ? 2] + [ ? 3] + . . . + [ ? 10000] . Упражнение 119. Доказать, что [ 35 23 ] + [2 · 35 23 ] + [3 · 35 23 ] + . . . + [22 · 35 23 ] = = [ 23 35 ] + [2 · 23 35 ] + [3 · 23 35 ] + . . . + [34 · 23 35 ] . Упражнение 120. Нарисовать графики функций: а) [ x ] б) { x } в) [ x ] ? { x } г) [ x ] + { 2 x } . Упражнение 121. Пусть A = a n a n ? 1 . . . a 1 a 0 . Доказать формулу: a k = = 10 ? k A ? 10[10 ? k ? 1 A ] Упражнение 122. а) Привести пример A > 0 такого , что { A } + { 1 /A } = 1 . б) Может ли такое A быть рациональным числом? Упражнение 123. a) Доказать, что для любых рациональных a и b ( a < b ) найдется иррациональное c , принадлежащее отрезку [ a, b ] . b) Доказать, что для любых рациональных a и b ( a < b ) найдется бесконечное множество C ? ( a, b ) , такое, что C ? R \ Q . Упражнение 124. a) Доказать, что для любых иррациональных a и b ( a < b ) найдется рациональное c , принадлежащее отрезку [ a, b ] . b) Дока- зать, что для любых иррациональных a и b ( a < b ) найдется бесконечное множество C ? ( a, b ) , такое, что C ? Q . Упражнение 125. Пусть число задается десятичной дробью а) ? = 0 , 101001000100001000001 ... ; б) ? = 0 , 123456789101112131415 .... ; Будет ли это число рациональным? Упражнение 126. Докажите, что при x 6 = ?n ( n ? Z ) sin x и cos x рацио- нальны тогда и только тогда, когда tg x 2 ? Q . Упражнение 127. Может ли а) сумма двух рациональных чисел быть ир- рациональной? б) сумма двух иррациональных чисел быть рациональной? в) иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным? Упражнение 128. Докажите, что a) 3 ? 17 6? Q ; b) ? 2 + ? 3 6? Q ; c) ? 2 + + ? 3 + ? 5 6? Q ; d) cos 20 ? 6? Q . 4.2. ТОЧНАЯ ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНЬ МНОЖЕСТВА. 55 Упражнение 129. Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) пред- ставляет собой иррациональное число. Упражнение 130. Дана бесконечная десятичная дробь 0 , a 1 a 2 . . . . Дока- жите, что цифры в ее десятичной записи можно переставить так, чтобы полученная дробь выражала рациональное число. Упражнение 131. Один из корней уравнения x 2 + ax + b = 0 равен 1 + ? 3 . Найдите a и b , если известно, что они рациональны. Упражнение 132. Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треуголь- нике - число рациональное. Упражнение 133. Докажите, что на окружности с центром в точке ( ? 2 , ? 3) лежит не более одной точки с целочисленными координатами. Упражнение 134. Можно ли нарисовать правильный треугольник с вер- шинами в узлах квадратной сетки? Упражнение 135. Вычислить 1 + 1 2 1 + 1 3 1 + 1 4 . . . 1 + 1 100 . Упражнение 136. Доказать, что уравнение x 2 ? 4 y 2 = 4 xy не имеет ре- шений в целых числах кроме x = y = 0 . Упражнение 137. Сумма нескольких различных правильных дробей с числителем 1 может быть равна 1 , например 1 2 + 1 3 + 1 6 = 1 . Есть ли другие такие примеры? Упражнение 138. Доказать, что десятичная запись числа 2 ? n содержит ровно n знаков после запятой. Упражнение 139. Найти 2005 цифру после запятой в десятичной записи дроби : а) 1 3 б) 1 7 в) 1 31 . Упражнение 140. Доказать, что 1 ? 1 2 + 1 3 ? 1 4 + . . . + 1 99 ? 1 100 = 1 51 + 1 52 + 1 53 + . . . + 1 99 + 1 100 . Подсказка: (Насколько левая и правая части меньше 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 100 ?) Упражнение 141. Доля двоечников в классе больше 2 5 , но меньше 3 7 , а всего в классе не больше 15 человек. Сколько в классе двоечников? Упражнение 142. Известно, что m n < p q ; числители и знаменатели этих дробей положительны. Доказать, что дробь m + p n + q находится между ними. |