Лекции12, 13, 14 Функциональные ряды



Дата21.10.2019
өлшемі294 Kb.
#50356
түріЛекции
Байланысты:
Степенные ряды

Степенные ряды

  • Лекции12, 13, 14

Функциональные ряды

  • Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным и обозначается
  • .
  • Если при ряд сходится, то
  • называется точкой сходимости функционального ряда.
  • Определение. Множество значений х, для которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Пример функционального ряда

  • Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х:
  • .
  • Геометрическая прогрессия сходится, если ее знаменатель . Тогда она имеет сумму , которая
  • очевидно является функцией от х.

Степенные ряды

  • Определение. Ряд
  • называется степенным по степеням х . Ряд
  • является степенным по степеням .

Интервал сходимости степенного ряда

  • Для любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое, что если , то при
  • ряд сходится, а при расходится.
  • Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую прямую. Если же , то степенной ряд сходится лишь в точке х=0.

Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера

  • Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если
  • ,то степенной ряд абсолютно сходится для всех х, удовлетворяющих этому условию.

Продолжение

  • В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости ряда:
  • .
  • За пределами этого интервала ряд будет расходиться, а на концах интервала, где
  • , требуется
  • дополнительное исследование.

Примеры

  • Найти интервал сходимости ряда
  • .
  • Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-1,1).

Примеры

  • Положим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится
  • (сравните его с гармоническим рядом).
  • Полагая x = -1, имеем знакочередующийся ряд ,
  • который сходится условно в силу теоремы Лейбница.
  • Итак, степенной ряд сходится в промежутке [-1,1).

Примеры

  • Найти интервал сходимости степенного
  • ряда . Здесь ,
  • = .Тогда
  • = =
  • =

Продолжение

  • = .
  • Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это означает, что степенной ряд сходится независимо от x, т.е. на всей числовой прямой.
  • Итак, интервал сходимости ряда - это промежуток .

Пример

  • Найти интервал сходимости ряда .
  • = =
  • = = .
  • Этот предел может быть меньше единицы, если только x=0 (иначе он будет равен бесконечности). Это означает, что степенной ряд сходится лишь в точке x=0.

Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы ряда

  • 1. Сумма степенного ряда
  • является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости этого ряда.
  • Например,
  • непрерывна , если .

Почленное дифференцирование

  • 2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если
  • , то

Почленное интегрирование

  • 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом
  • где .

Разложение функций в степенные ряды

Определения

  • Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд .
  • Опр. Рядом Тейлора функции f(x) называется ряд, коэффициенты которого определяются
  • по формулам , т.е. ряд
  • или .

Степенной ряд как ряд Тейлора

  • Теорема. Если в некоторой окрестности точки
  • ,
  • то ряд справа есть ее ряд Тейлора.
  • Короче: если функция представлена в виде степенного ряда, то этот ряд является ее рядом Тейлора.
  • Представление функции ее рядом Тейлора единственно.

Формула Тейлора

  • Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора:
  • Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции .
  • Разность называется остаточным членом ряда Тейлора.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

  • Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид:
  • Тогда
  • называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x)

  • Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех

Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора

  • Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех
  • выполняется условие
  • при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале.

Разложение

  • Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции формально ряд Маклорена:
  • Этот ряд, очевидно, сходится на всей числовой оси. Но все производные функции равномерно ограничены, т. к. , где R-любое число из интервала сходимости. Поэтому этот ряд сходится именно к функции

Разложение в ряд синуса.

  • Вычислим производные синуса:

Продолжение

  • Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса:
  • при этом видно, что этот ряд сходится на всей числовой оси.

Разложения некоторых функций в ряд Тейлора

  • При решении задач удобно пользоваться разложениями:
  • 1.
  • 2.
  • 3.

Продолжение

  • Геометрическую прогрессию мы получили выше:
  • 4.
  • Интегрируя по х обе части равенства, получим логарифмический ряд:
  • 5.

Биномиальный ряд

  • 6.
  • 7.
  • Биномиальный, логарифмический ряды и ряд для арктангенса сходятся в интервале (-1,1).

Пример

  • Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию
  • Решение. Зная разложение функции в биномиальный ряд, сходящийся на интервале (-1,1), преобразуем данную функцию так, чтобы воспользоваться биномиальным рядом.
  • , где

Применение степенных рядов

Приближенное вычисление интегралов

  • Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения.
  • Пример . С помощью степенного ряда вычислить с точностью до 0,0001

Решение

  • Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:

Продолжение

  • Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена такого ряда. Ясно, что часть ряда, которую в задаче следует отбросить, также является знакочередующимся рядом и его сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда.
  • Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001.

Продолжение

Приближенное вычисление значений функций

  • Вычислить с точностью до 0,001.Преобразуем
  • Воспользуемся биномиальным рядом при х=0,25 и

Продолжение

  • Получим


Достарыңызбен бөлісу:




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет