Степенные ряды Функциональные ряды - Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным и обозначается
- .
- Если при ряд сходится, то
- называется точкой сходимости функционального ряда.
- Определение. Множество значений х, для которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Пример функционального ряда - Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х:
- .
- Геометрическая прогрессия сходится, если ее знаменатель . Тогда она имеет сумму , которая
- очевидно является функцией от х.
Степенные ряды - Определение. Ряд
- называется степенным по степеням х . Ряд
- является степенным по степеням .
Интервал сходимости степенного ряда - Для любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое, что если , то при
- ряд сходится, а при расходится.
- Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую прямую. Если же , то степенной ряд сходится лишь в точке х=0.
Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера - Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если
- ,то степенной ряд абсолютно сходится для всех х, удовлетворяющих этому условию.
Продолжение - В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости ряда:
- .
- За пределами этого интервала ряд будет расходиться, а на концах интервала, где
-
- , требуется
- дополнительное исследование.
Примеры - Найти интервал сходимости ряда
-
- .
- Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-1,1).
Примеры - Положим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится
- (сравните его с гармоническим рядом).
- Полагая x = -1, имеем знакочередующийся ряд ,
- который сходится условно в силу теоремы Лейбница.
- Итак, степенной ряд сходится в промежутке [-1,1).
Примеры - Найти интервал сходимости степенного
- ряда . Здесь ,
- = .Тогда
- = =
Продолжение - = .
- Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это означает, что степенной ряд сходится независимо от x, т.е. на всей числовой прямой.
- Итак, интервал сходимости ряда - это промежуток .
Пример - Найти интервал сходимости ряда .
- = =
- = = .
- Этот предел может быть меньше единицы, если только x=0 (иначе он будет равен бесконечности). Это означает, что степенной ряд сходится лишь в точке x=0.
Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы ряда - 1. Сумма степенного ряда
- является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости этого ряда.
- Например,
- непрерывна , если .
Почленное дифференцирование - 2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если
- , то
Почленное интегрирование - 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом
- где .
Разложение функций в степенные ряды Определения - Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд .
- Опр. Рядом Тейлора функции f(x) называется ряд, коэффициенты которого определяются
- по формулам , т.е. ряд
- или .
Степенной ряд как ряд Тейлора - Теорема. Если в некоторой окрестности точки
- ,
- то ряд справа есть ее ряд Тейлора.
- Короче: если функция представлена в виде степенного ряда, то этот ряд является ее рядом Тейлора.
- Представление функции ее рядом Тейлора единственно.
Формула Тейлора - Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора:
- Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции .
- Разность называется остаточным членом ряда Тейлора.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа - Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид:
- Тогда
- называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x) - Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех
Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора - Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех
- выполняется условие
- при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале.
Разложение - Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции формально ряд Маклорена:
-
- Этот ряд, очевидно, сходится на всей числовой оси. Но все производные функции равномерно ограничены, т. к. , где R-любое число из интервала сходимости. Поэтому этот ряд сходится именно к функции
Разложение в ряд синуса. - Вычислим производные синуса:
Продолжение - Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса:
- при этом видно, что этот ряд сходится на всей числовой оси.
Разложения некоторых функций в ряд Тейлора - При решении задач удобно пользоваться разложениями:
- 1.
- 2.
- 3.
Продолжение - Геометрическую прогрессию мы получили выше:
- 4.
- Интегрируя по х обе части равенства, получим логарифмический ряд:
- 5.
Биномиальный ряд - 6.
- 7.
- Биномиальный, логарифмический ряды и ряд для арктангенса сходятся в интервале (-1,1).
Пример - Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию
-
- Решение. Зная разложение функции в биномиальный ряд, сходящийся на интервале (-1,1), преобразуем данную функцию так, чтобы воспользоваться биномиальным рядом.
- , где
Применение степенных рядов - Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения.
- Пример . С помощью степенного ряда вычислить с точностью до 0,0001
Решение - Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:
Продолжение - Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена такого ряда. Ясно, что часть ряда, которую в задаче следует отбросить, также является знакочередующимся рядом и его сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда.
- Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001.
Продолжение Приближенное вычисление значений функций - Вычислить с точностью до 0,001.Преобразуем
- Воспользуемся биномиальным рядом при х=0,25 и
Продолжение
Достарыңызбен бөлісу: |
