2. Скаляр көбейтінді. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі деп сол векторлардың ұзындықтары мен екеуінің арасындағы бұрышының косинусының көбейтіндісін айтады:
а b = |а| |b| cosa^ b. Анықтама бойынша скаляр көбейтінді скаляр шама болады.
Оның төмендегідей қасиеттері бар:
ab=ba
Егер a b болса, онда а b= 0.
Егер а= b болса, онда ab=а2=|а|2, яғни а2=|а|2.
Осыдан: |а|=| |.
а b = ( ab).
(a+b) с=ac+ bc.
Cos ab= .
Скаляр көбейтіндінің геометриялық мағынасы да бар. Егер а мен
b-нің арасындағы бұрыш -ге тең болса, онда анықтама бойынша а b = |а| |b| cos =|а| праb= |b| прba,
себебі
|а|cos = прba, |b|cos = праb.
Осыдан
прba= , праb= ,
яғни бір вектордың екінші векторға түскен проекциясы екеуінің скаляр көбейтіндісі мен бірінің модулы арқылы өрнектеледі. Егер көбейткіш векторлардың координаталары берілсе: a{X1; Y1; Z1}, b{X2; Y2; Z2}, онда
а b =X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. Осыдан 3) қасиет бойынша кез келген a{ X; Y; Z } векторының ұзындығы оның координаталары арқылы төмендегі түрде өрнектеледі:
|а|= .
Ал 2) шарт бойынша екі вектордың перпендикулярлық шарты
X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 =0
түрінде жазылады. Кез келген вектордың координаталар осьтерімен жасайтын бұрыштарының косинустарын бағыттаушы косинустар дейді. Оларды да, скаляр көбейтіндіні пайдаланып, вектордың координаталары арқылы өрнектеуге болады. Егер a{ X; Y; Z } векторы берілсе, онда