Лекция 11
Тақырып: Алғашқы функция. Анықталмаған интеграл.
1.1 Алғашқы функция.
1.2 Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері.
1.3 Элементар функцияларды интегралдау.
Математикалық талдаудың көптеген теориялық және қолданбалы сұрақтарында дифференциалдауға кері болатын есептерді шешуге тура келеді. Дәлірек айтқанда, берілген туындысы немесе дифференциалы бойынша алғашқы функция деп аталатын функцияны табу. Алғашқы функцияларды табу үрдісін интегралдау деп атайды.
Анықтама. Егер немесе бәрібір теңдік орындалатын болса, онда функциясы берілген функциясы үшін алғашқы функция деп аталады.
Теорема. Егер және - аралығында функциясының екі алғашқы функциялары болса, онда олардың айырмасы С – кез келген тұрақты санға тең.
Дәлелдеуі: аралығындағы кезкелген үшін алғашқы функциялардың айырмасын қарастырайық: . Осы теңдікті дифференциалдаймыз: .
Бұл теореманың шарты бойынша: .
Яғни, .
Соңғы теңдіктен функциясы тұрақты сан екендігі шығады.
Дәлелденген теоремадан біз мынадай қорытындыға келеміз: егер - кейбір функциясы үшін алғашқы функция болса, онда осы функция үшін кез келген басқадай алғашқы функциясы (мұнда С – кезкелген тұрақты сан) түрінде болады.
Анықтама. (мұнда С – кез келген тұрақты сан) алғашқы функциялар жиынын функциясының анықталмаған интегралы деп атайды және оны былай белгілейді:
Мұнда функцияны интеграл таңбасы ішіндегі функция, ал мына өрнекті интеграл таңбасы ішіндегі өрнек деп атайды. Ал -ті интегралдау элементі дейді.
Ескерту. Функцияның қандайда бір алғашқы функциясын табу, оның анықталмаған интегралын табумен пара-пар, осы себепті: белгілі бір аралықта берілген кезкелген функциясының алғашқы функциясы болады ма, жоқпа деген сұрақ туады. Егер функциясы белгілі бір аралықта үздіксіз болса, онда ол функцияның сол аралықта алғашқы функциясы болады.
Анықталмаған интегралдың қасиеттері
1) және .
Шынында, .
2) .
Шынында, . Осы теңдікті интегралдап, аламыз:
.
3) . Осы теңдікті дифференциалдап, аламыз: .
4)
Осы теңдіктің дұрыстығын өз беттеріңмен тексеріңдер.
