- Вычисление площадей плоских фигур
- Вычисление длины дуги плоской кривой
- Вычисление объема тела вращения
- Несобственный интеграл.
- Несобственный интеграл I рода.
- Несобственный интеграл II рода.
Вычисление площадей плоских фигур - По геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси ОХ равна соответствующему определенному интегралу :
- Если криволинейная трапеция расположена ниже оси ОХ, то ее площадь может быть найдена по формуле:
- Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f1(x) и y = f2(x), прямыми x = a, x = b при условии
- находится по формуле:
- Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси OY, ее следует разбить на части так, чтобы можно было применить известные формулы.
Пример. - Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью OX, и графиком функции:
Вычисление длины дуги плоской кривой - Если уравнение кривой AB задано в параметрической форме:
- то длина дуги кривой находится по формуле:
- Если кривая AB задана в полярных координатах:
- то длина дуги кривой находится по формуле:
Пример. - Вычислить длину дуги окружности, заданной уравнением:
- от точки А(2; 0) до точки
- Найдем как изменяется параметр t при переходе от точки А к точке В:
Вычисление объема тела вращения - Пусть вокруг оси OX вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией y = f(x) > 0, отрезком [a; b] и прямыми x = a, x = b. .
- Полученная при вращении фигура называется телом вращения.
- Объем полученного тела вычисляется по формуле:
- Если криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции x = q(y) > 0, прямыми y = c, y = d и осью OY, то объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси OY равен:
Пример. - Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
Несобственный интеграл - Так называемые несобственные интегралы бывают двух видов:
- Определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл 1 рода)
- [a; b] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], называют еще собственным интегралом.
- Определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв (несобственный интеграл 2 рода)
Несобственный интеграл 1 рода - Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке
- то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают:
- Если существует конечный предел
- В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.
- Если указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
- Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке
- Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:
- Если непрерывная функция на промежутке и
- несобственный интеграл
- сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции:
Примеры. - Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
- Интеграл расходится, так как такой предел не существует
Несобственный интеграл 2 рода - Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке
- Если существует конечный предел
- Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке x = a, то:
- и имеет бесконечный разрыв при x = b
- В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.
- Если указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
- Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке c отрезка
- [a; b] , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:
- В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.
- В случае, когда f(x) > 0, и имеет бесконечный разрыв в точке b, то сходящийся несобственный интеграл 2 рода равен площади бесконечно высокой криволинейной трапеции:
Пример. - Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Достарыңызбен бөлісу: |
