Лекция: 15 сағат Практикалық сабақ: 15 сағат обсөЖ: 30 сағат Барлық сағат саны: 90 сағат

Жоспары

Математиканы ары қарай түзу, конструкциялауекі негізхгі тәсілмен іске асады: бірімен – бірісәйкес аксиомалар көмегімен табиғи түрде байланысқан бірнеше негізігіқұрылымдардан \немесе, әртүрлі құрылымдардан\ түзілген күрделі құрлым құрастыру арқылы: қанджайда негізгі құрылымның акксиомаларына бір немесе бірнеше толықтама аксиомалар қосу барысында пайжа болатын арнаулы құрылым құрастыру арқылы.

• 
  қарастырғған теорияның шеңберінде анықталмайтын алғаншқы терминдер деп аталатын, саны шектеулі ұғымдар мен олардың арасындағы қатынастар іріктеледі;
  
• 
  бюастапқы ұғымдармен қатынастардың һзара байланысын тағайындайтын және олардың жанама түрде анықтайтын ақитқаттығы дәлелдеусіз қабылданатын бірнеше бастапқы тұжырымдар – аксиомалар алынады;
  
• 
  қарастыраатын теорияға енгізілген барлық жаңа ұғымдар бастапқы терминдер немесе бұрын анықталатын ұғымдар мен қатынастар арқылы анықталады, ал теориянық барлық жаңа тұжырымдары \ терминдері\ дедукциялыққ жолмен алғашқы терминдердің немесе аксиомалардың \немесе бұрын дәлелденген теоремалардың\ негізіндедәлелденеді және де қорытып шығару ережесіі \ақиқат сөйлемнің бірі екіншісі бір ақиқат сөйлемнен туындайды\ беріледі және ол математикалық логикада зерттеледі;
  
• 
  аксиомаалық теорияны нақты обьектілер жиынында жүзеге асыру үшін аксиоматикалық теорияның көрнекі көрсетіліп берілуі \немесе модулі\ пайдаланылады.
  

Лекция 4.

Математикада обьектілердің жиыыны тураалы айтқан қайсы бір обьектілердіңжиынтығын – тұтас \бір бүтін\ деп түсінеді. Мұны Г.Кантор мынадай сөздермен бейнелеп айтқан болатын: “Жиын дегеніміз - өзіміздің ойымызда тұтас бір бүтін болып түсінілетінкөптік”.

Кантордың бұл сөзі жиын ұғымын анықтамайды,оны тек қана түсіндіреді, сондықтан ол жиынның математикалық анықтамасы болып табылады.

«Жиын дегеніміз не? Біз бұл сұрақтыңдәл жауабын тым іздей бермейміз, өйткені жиын қғымы мейлінше бастапқы ұғымм болуы себепті оны басқадй қарапайым ұғымдардың көмегімен анықтау бүгінгі күннің өзінде қиындық тудырып отыр».

Жиынды құрайтын обьектілерді немесе ұғымдарды оның элементтері дейді және де осы элементтер берілген жиынғға тиісті деп есептелінеді. Жиын элементтері кез – келген текті обьектілер болсада бола алады және оны құрайтын обьектілердің бір текті болуы типпті де міндетті емес.Жиынды құрайтын обьектілер оған тиісті болады да, ал сол обьектілердің құрамды бөліктері оған тиісті емес деп есептелінеді.

Жиын элементтерінің саны шектеулі де шексіз көп те болуы мүмкін. Жиынның бірде бір элементі болмауы да мүмкін. Ондай жиынды бос жиын деп атайды және Ø белгісімен белгілейді.

Жиынның негізгі берілу тәсілдері.

1. 
   Жиындды оның барлық элементтерін атау арқылы анықтап беру.
   
2. 
   Жиынды оны құрайтын элементтердің сипаттамалық қасиеттерін атау арқылы, яғни жиынға тиісті әрбір элементке тән, ал оған тиісті емес бірде бір элементке тән болмайтын қасиетті көрсету арқылы анықтап беру.
   

Анықтама. В жиынының әрбір элементі А жиынына тиісті болғанда және сонда, тек сонда ғана В жиыны А жиының ішкі жиыны деп аталады.

Жиындарды және олардың арасындағы қатынастарды көрнекті түрде көрсетіп беру үшін Эйлер дөңгелектері немесе Эйлер – Вен деограммалары деп аталатын ерекше сызбалар пайдаланылады.

1.А және В жиындарының екеуіне де тиісті элементтерден құрайтын жаңа С жиын болады.

Анықтама. А және В жиындарының қиылысуы деп Ажәне В жиындарының екеуіне де тиісті элементтерден және теке қана сол элементтерден тұратын жиынды айтады.

2.А немесе Вжиындардың ең болмағанда біреуіне тиісті болатын элементтерден тұратын жаңа С жиынын құұрайық.

Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол элементтерден тұратын жиынды айтады.

3.А жиынының В жиынына тиісті емес элементтерінен тұратын жаңа жиын құрайық .

Анықтама. А және В жиыныдарының айырмасы деп А жиынына тиісті және В жиынына тиісті емес элементтерден және тек қана сол элементтерден тұратын жиынды айтады.

Анықтама. X жәнеY жиындарының декарттық көбейтіндісі деп бірінші компаненті Х жиынына, ал екінші компоненті Y жиынына тиісті парлардың жиынын атайды.

Жиынды өзара қиылыспайтын ішкі жиындарғға бөлу мүмкін болатын классификациялаудың негізіне алынады. Сонда классификациялау көбінесе белгілердің немесе қасиеттердің көмегімен жүзеге асырылады.

Әмбебап \универсал\ жиын U – барлық үшбұрыштардың жиыны болсын. Осы жиыннан «тік бұрышты болсын» көмегімен тік бұрышты үшбұрыштардың А ішкі жиынын \ яғни аталған қасиетті қанағаттандырады U элементтерді\ және тік бұрышты емес ұшбұрыштардың А ішкі жиынын яғни аталған қасиеті қанағаттандырмайтын U элементтерді бөліп алу.

Кез – келеген А,В және С жиындары үшін мына теңдіктер турап болады 1.АUВ=ВUА – бірігудің коммутативтігі

2.А∩В=А∩В – қиылысудың коммутитивтігі

3.АU(ВU)=(АUВ)UС – бірігудің ассоциативтігі

4.А∩(В∩С)=(А∩В)∩С – қиылысудың ассоциативтілігі

5. Бірігудің қиылысуға қатысты дистребитивтілігі

6.Қиылысудың бірігуге қатысты дистрибутивтілігі

7. Бос жиынның нитралдық қасиеті

8. Бос жиынның «жұтып қою» қасиеті

9. Декарттық көбейтіндіні бірігуде қатысты дистрибутивтілігі

10. Декарттық көбейтіндіні қиылысуға қатысты дистрибутивтілігі

11. Декарттық көбейтіндіні азайтуға қатысты дистребутивтілігі

Лекция 6.
Тақырыбы.Графтар.

Жоспары.

1.Графтар теориясыныңұғымдары.

2.Бір бағытты фигуралар.

3.Жазық графтар. Жазық графтар туралы Эйлер теоремасы.

4.Байланысты және Байланыссыз графтар.
Графтар теориясы-шектеулі математиканың кейбір мәселелерді шешуге геометриялық тұрғыдан келу тән бюолып табылатын бөлім. Граф теориясының негізгі мазмұны графтарды зерттеу болып табылады. Граф – «граф» - «жазамын» деген мағанадағы грек сөзінен алынған.

Жазықтықта әртүрлі бес A,B,C,D,E нүктелерін белгілейік. Осы нүктелерді графтың төбелері, ал оларды қосатын сызықтарды \түзу немесе қисық\ графтың қабырғалары деа атайды.

Бұл графты A,B,C,D,E нүктелерін қосатын сызықтар осы нүктелерден басқа ешбір нүктелерден қиылыспайтындай етіп те кескіндеуге боладыв. Қабырғалары тек төбелерінде ғана қиылысатын графты жазық граф деп атайды.

Графтың мынадай негізгі қасиеттері болады:

1. 
   Оның тақ төбелерінің саны әрқашан жұп болады. Тақ төбелерінің саны тақ сан болатын графты сызып көрсету мүмкін емес.
   
2. 
   Егер графтың барлық төбелері жұп болса онда графты бір сызықтықпен сызып шығуға болады.
   
3. 
   Тақ төбелерінің саны екіге тең болатын графты бір сызықпен сызып шығуға болады. Мұнда қозғалысты тақ тқбелердің кез – келген біреуінен бастап екіншісінен аяқтау қажет.
   
4. 
   Тақ төбелерінің саны екіден артық болатын графты бір сызықпен сызып шығу мүмкін емес.
   

Теорема. Қисық бір бағытты (уникурсал) болу үшін оның тақ түйіндерінің саны екіден артықболмауы қажетті және жеткілікті.

Теорема. Кез - келген жазық граф үшін Т – Қ + Ж= 2 теңдігі орындалады. Мұндағы Т – граф төбелерінің саны, Қ – граф қабырғаларының саны, Ж –оның жақтарының саны. Бұл теорема жазық графтар үшін Эйлер теоремасы деп аталады. Жалпы апйтқанда, графтар төбелерден , қабырғалардын және жақтардан тұрады. Берілген граф арқылы жазықтықтың бөлінген бөліктері жақтар деп аталады.

Толық жазық графтардың мынадай қасиеттерін \дәлелдеусіз\ келтіреміз:

1. Төбелерініңң саны n – ге тең болатын толық жазық графтың қабырғаларының саны 3n – 6 – тең боады, мұндағы n ≥3.

2. Егер толық графтың төбелерінің саны n –ге/ n≤4/ тең болса , онда ол жазық граф болып табылады.

Графтағы ешбір қабырға арқылы бірден артық рет өтпейтін сызық шынжыр деп аталады. Егер қозғалысты А нүктесінен бастап барлық төбелерден қайта оралу мүмкін болса , мұндай жолды цикл деп атайды. Егер циклдыңң барлық төбелері әртүрлі болса, мұндай цикл қарарайым цикл, ал қарсы жағдайда қарапайым емес цикл деп аталады. Кей жағдайда цикл графтың барлық қабырғаларын дәл бір реттен қамтиды. Мұндай циклдарды Эйлер сызықтарды деп атайды.

Лекция7.

Тақырыбы: Сәйкестіктер

Жоспары

1. 
   Жиындардың элементтері арасындағы сәйкестіктер.
   
2. 
   Сәйкестіктің графы және графигі
   
3. 
   Бейнелеулер.
   
4. 
   Жиыннның жиынға бір мәнді бейнелеуі.
   
5. 
   Тең қуаттас жиындар.
   

БОПМ факультетінің кейбір студенттерінен тұратын X жиынының, Қазақстаннның бірнеше қалаларынан тұратын Yжиынын қарастырайық нақтырақ болу үшін:Х=Біржан, Ернар,Жанар, Зәрипа, Мәншүк, Ләззәт, Гүлнәз}, У= {Қарағанды,Теміртау, Семей, Ақтау, Шымкент, } делік. Осы екі жиынның декарттық көбейтіндісін элементтері (х ,у ) ,яғни “студент-қала” түріндегі барлық парлар элементтері болатиын Х х У{(x,y)/ xX,yY} ретінде болады. Осындай барлық парлардың жиынынан біз «студентті болғған қаласымен байланыстыратын» парларды теріа аламыз. Әрине, мұндай парларды \студент – қала\ «тізімі» декарттық көбейтіндіні ішкі жиыны болады, және онда тік бұрышты кестенің бағандарымен жолдарын ың элементтерін пайдаланып құруға болады.

Анықтама. Бос емес X жәнеY жиындары элементтерінің арасындағы \XxY мұндағы Z(XхY). Х – Р сәйкестіктің шығу облысы, У – Р сйкестіктің келу облысы.

Анықтама. Х жиынын У жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп әрбір хХ лементінің жиынындағы\ бинарлық сәйкестіке (Р) де (X,Y,Z) жиындар үштігін айтады., бейнесі бір және тек бірғана уУ болатын Х және У жиындары арасындағы сәйкестікті айтады. Басқа сөзбен айтқан да, кез – келген хХ үшін хРу болатын бір және тек бір ғана уУ табылады.

Жиындардың арасында өзара бір мәнді сәйкестік ұғымы эквиваленттік пен жиынның қуаты, жиындардың тең қуаттастығы сияқты ұғымдардытуғызады.

Анықтама. Егер Х жиынын У жиынына өзара бір мәнді бейнелену мүмкін болса, онда бұл жиындарды эквиваплентті жиындар деп атайды да Х~У түрінде белгілейді.

Анықтама. Егер А және В жиындары эквивалентті болса, онда олардың қуаттары бірдей болады. Сондықтан эквивалентті жиындарды теңқуаттас деп те атайды. Шектеулі жиындар үшін қуат дегеніміз – ол жиын элементтерінің саны болып табылады да теріс емес бүтін санмен (Г.Контордың терминіі бойында кардинал санмен)өрнектеледі.

Анықтама. Хжиынындапғы R бинарлық қатынас дегеніміз жиындардың (Х,Z) пары,мұндағы ZXxX. Х жиынын R қатынастыңң берілу обылысы., ал Z жиынын R қатынастың графигі деп атайды.

Қатынастардың негізгі қасиеттері:

1. 
   Егер әрбір х элементті өзімен өзі R қатынаста бола алса онда Х жиынындағы R қатынасты рефлексифті деп аталады..
   
2. 
   Егер Х жиынының бірде бір элементі өзімен өзі R қатынаста бола алмаса, онда R қатынасы антирефлексифті деп аталады.
   
3. 
   Егер Х жиынының кез – келген х және у элементтері үшін хRу болатындығынан уRх болатындығы шығатын болса, онда R симметриялы деп аталады.
   
4. 
   Егер Х жиынының ешбір х және у элементтері үшін бір мезгілде хRу және уRх бола алмаса, онда R қатынасы асимметриялы деп аталады.
   
5. 
   Егер х=у болғанда, сонда және сондағана бір мезгілдехRу және уRх бола алса, онда R қатынасыантисимметриялы деп аталады.
   
6. 
   Егер Х жиынының кез – келген х,у,z элементтері үшін хRу және уRz болатындығынан хRz болатындығы шығатын болса, онда R қатынасы транзитивті деп аталады.
   
7. 
   Егер Х жиынының кез – келген әртүрлі екі элементінің ең болмағанда біреуі екіншісімен R қатынаста бола алса, онда Х жиыныныдағы R қатынасы байланды деп аталады.
   

Лекция 8.

Тақырыбы: Математикалық – тұжырымдар және олардың құрылымы

Жоспары

1. 
   Математикалық ұғымдар және оларды қалыптастыру процесі.
   
2. 
   Анықталатын және анықталмайтын ұғымдар.
   
3. 
   Ұғымдарды анықтаудың тәсілдері.
   
4. 
   Тегі және түрлік айырмашылығы арқылы берілетін анықтамалардың құрылымы.
   
5. 
   Пікір ұғымы. Пікірге қолданылатын амалдар.
   

Ұғым – материаның жоғарғы жемісі екндігі белгілі. Ұғымды сипаттаған кензде оның жоғары ұғымдас материаның нәтижесі екендігін және материадан тұратын әлемді бейнелейтін, сондай – ақ адамға тән арнайы іс - әрекетті білдіруі себепті ұғымы адам санасында қалыптасуы, оның тікелей сөз беруі жазу және сан арқылы өрнектелуінен бөлінбейтіндігін басшылыққа алады.

Ұғым абстракциялаумен \деркесіздендірумен\ тікелей байланысты болатын жалпылау операциясы арқылы жасалады.

Әрбір ұғым мазмұны және көлемі бойынша қарастырылуы мүмкін. Ұғым мазмұны – берілген ұғымның барлық (аса елеулі, маңызды) мәнді белгілерінің жиыны. Ұғым көлемі – ол берілген ұғым қамтитын обьектілердің жиыны.

Ұғымдарды мынадай жолдармен де анықтау мүмкін:

1. 
   Генетикалық немесе конструктивтік (ұғымның шығу тегін көрсететін) тәсілмен
   
2. 
   Индуктивтік жолмен
   
3. 
   Абстракцияның \дерексіздендірудің\ көмегімен.
   
4. 
   Аксиоматикалық \ ұғым бастапқы деп есептелініп, олардың арасындағы байланыстар аксиоматикалық жолмен немесе аксиомалар жүйесімен түсіндіріледі\
   
5. 
   Ең жақын тегін және түүрлік айырмашылығын айқын бөліп көрсету \ бұл тәсілдің мәнісі анықталатын ұғымды негізгі және бұрыннан белгілі ұғымдарға келтіру болып табылады\ арқылы.
   

Ұғымды анықтау барысындағы талаптар:

1. 
   Анықталатын және анқытаушы ұғымдар өлшемдес болуы тиіс
   
2. 
   Анықтама беру ережелері тұйыққа тірелуге тиым салу керек
   
3. 
   Анықтамада ұғымның көлемінде тиісті обьектіні бір мәнді ерекшелеуге мұмкіндік беретін барлық қасиеттер көрсетілукі тиіс
   
4. 
   Анықтамада басы артық ештеңе \ сөз, мағлұмат\ болмауы тиіс
   
5. 
   Кейбір ұғымдардың мүмкін болатын әртүрлі анықтамаларының бірін таңдау барысында қайсы анықтама жеңіл, табиғи немесе ары қарай теорияны құру мақсатына сәйкес болатындығы басшылыққа алынуы керек
   
6. 
   Егер анықталатын обьектінің бар болу қажеттілігі ескерілсе, сонда ғана анықтама логикалық тұрғыдан алғанда дұрыс болады.
   

Анықтама. Өзіне қатысты ақиқат немесе жалған екендігін айтуға болатын сөәлемді пікір деп айтады.

Анықтамалар:

1. 
   Қандайда бір p пікірді теріскее шығару деп р ақиқат болғанда жалған және р жалған болғанда ақиқат болатын ( р емес) пікірді айтады
   
2. 
   р және q пікірлердіңң коньюнкциясы деп екі пікір де ақиқат болғанда және тек сонда ғана ақиқат болатын пікірді айтады
   
3. 
   р мен q пікірлердің дезьюнкциясы деп екі пікірдің ең болмағанда біреуі ақиқат болғанда және тек сонда ған ақиқат болатын пікірді айтады
   
4. 
   р мен q пікірдің импликациясы деп р ақиқат және q жалған болғанда және тек сонда ғана жалғанг болатын пікірді айтады.
   
5. 
   р мен q пікірдің эквиваленциясы деп олардың екеуі де жалған немесе екеуі де ақиқат болғанда және сонда ғана ақиқат болатын пікірді айтады.
   

жүктеу/скачать 4,04 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: