Лекция №2 Дискретті элементар оқиғалар кеңістігіндегі ықтималдық

Анықтама.

дискретті элементар оқиғалар кеңістігі, 
A

-ның барлық ішкі жиындарының жиыны, 
Р
A
-да 
анықталған ықтималдық болсын. Онда 
(
,

A
,
)
Р
үштігі 
дискретті ықтималдық кеңістігі
деп аталады. 
Егер

ақырлы жиын болса 


  
, онда дискретті ықтималдық кеңістігі 
ақырлы ықтималдық 
кеңістігі
деп аталады. 
Енді (1) қатардың абсолютті жинақталатынын пайдалана отырып жоғарыда келтірілген анықтамалардан 
шығатын ықтималдықтың кейбір қасиеттерін келтіре кетейік: 
1).
Кез келген 
A

A
оқиғасы үшін 

( )
А

0
Бұл (1) формуладан шығатыны айдан-анық. 
2).

( )
;
 
0
 
( )
.

1
Себебі (1) формула және ықтималдықтық функцияның анықтамасы бойынша 
 


(
)
( )






1
және 

( )
.
 
0
3).




(
)
( )
( )
(
).
A
B
A
B
AB





Шынында да анықтама бойынша 
P A
B
P
P
P
P
P A
P B
P AB
A
B
A
B
AB
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)

























Бұдан мынау шығады: егер 
AB
 
болса, яғни 
A
,
B
окиғалары үйлеспейтін болса, онда 
P A
B
P A
P B
(
)
( )
( )



4)
.
P A
P A
( )
( )
 
1
. 
Себебі 
A A
 
және 
A
A

 
болғандықтан 3-қасиет бойынша 
P A
P A
( )
( )


1
. Егер қосарлылық 
принципін еске алсақ, біз осы қасиетті пайдаланып мынандай формулаларды жаза алатынымызды ескерте кетейік: кез 
келген 
А А
1
2
,
,...
оқиғалары үшін
P
A
Р
A
Р
A
P
A
i
i
i
i
i
i
i
i









  











  






1
1
,
5)
. Егер 
A
i

A
және 
A A
i
j
i
j
  
(
)
болса, онда 
P
A
P A
i
i
i
i
(
)
(
)







1
1
Бұл 
P
A
P A
i
i
n
i
i
n
(
)
(
)





1
1
және 
lim
(
)
n
i
i n
P
A
 
 



1
0
болатындығынан шығады. 
6) 
Егер 
A
оқиғасы 
B
оқиғасын ілестіретін болса 
(
)
A
B

, онда
P A
P B
( )
( )

. 
Себебі 
B
A
B
A


(
\
)
және 3-ші және 1-ші қасиеттер бойынша 
P B
P A
P B
A
P A
( )
( )
(
\
)
( )



7) 
Кез келген 
A
,
B
оқиғалары үшін 
P A
B
P A
P B
(
)
( )
( )



Бұл 1-ші және 3-ші қасиеттерден шығады. 
Соңғы қасиет, әрине, оқиғалардың кез келген саналымды қосындысы үшін де дұрыс 
P
А
P A
i
i
i
i









 

1
1

(
)
Шындығында да, егер 
В
A
В
A A
1
1
2
2
1


,
,
В
A A A
3
3
2
1

, . . . ,
В
A A
A
n
n
n


1
1
. . .
, . . .
деп белгілесек, онда 6-қасиет бойынша 

( B
n
n
A
)
(
)
 
және де 
A
B
n
n
n
n






1
1

болғандықтан 5,6-қасиеттер бойынша
P
А
B
P B
P A
n
n
n
n
n
n
n
n













 





 




1
1
1
1


(
)
(
)
8).
P A B
P A
P A B
(
\
)
( )
(
)


. 
Шынында да 
A
A B
AB


(
\
)
болғандықтан 3-қасиет бойынша 
P A
P A B
P A B
( )
(
\
)
(
)


. 
9).
Кез келген 
A A
A
n
1
2
,
,...,
оқиЄалары Їшін 
(
)
n
 

P
A
P A
P A A
P A A A
P A A
A
i
i
n
i
i
n
i
j
i j
i
j
k
n
n
i j k
(
)
(
)
(
)
(
) ... (
)
(
...
)




 



  



1
1
1
1
2
1

(2) 
Дәлелдеу үшін математикалық индукция әдісін қолданалық.
Егер 
n

2
болса, онда 3-қасиет бойынша (2) формула дұрыс. Енді (2) формула кез келген 
A A
A
n
1
2
1
,
,...,

оқиғалары 
үшін дұрыс болсын делік те 
B
A
i
i
n



1
1

деп алалық. Онда 3-қасиет бойынша 
P
A
P B
A
P B
P A
P A B
i
i
n
n
n
n
(
(
)
(
)
(
)
(
)





1


Бірақ ұйғарым бойынша біз 
P B
P
A
i
i
n
( )
(
)



1
1

және 
P A B
P
A A
n
n
i
i
n
(
)
(
(
))



1
1

ықтималдықтарын 
n

1
оқиға 
үшін (2) формуланы пайдаланып жаза аламыз. Енді соңғы формулаға осы белгілі мәндерді қойсақ, онда (2) формула 
шығады. 
Ықтималдықтар теориясында (2) формуланы 
ықтималдықтарды қосу формуласы
деп атайды. 
2.1 Ықтималдықтың классикалық анықтамасы 
(
,

A
,
)
P
 
ақырлы ықтималдық кеңістігін қарастыралық және 


 
 

1
2
,
,...,
n
элементар 
оқиғалар кеңістігіндегі барлық элементар оқиғалар өзара тең ықтималдықты болсын деп есептелік:
P
(
)

1

P
(
)

2

...=
P
n
(
)


p
. Онда 
1





P
P
( )
( )




p
p
np








. 
Бұдан
p
=
1
1
n
(
)


және кез келген 
A

A
оқиғасы үшін
P A
P
A
( )
( )






p
A
n
A
A
 










. 
Ықтималдықты осылай анықтауды 
ықтималдықтың классикалық анықтамасы
деп атайды.
Ықтималдықтың классикалық анықтамасына келтіретін ықтималдық кеңістігінің моделі тәжірибенің ерекшелігін 
анықтайтын шарттарға қарағанда барлық элементар оқиғалар бірдей жағдайда болатын, басқаша айтқанда олардың бір-
бірінен ешқандай артықшылығы болмайтын кездерде, яғни осы айтылған мағынада барлық элементар оқиғалардың 
“симметриялық” қасиеті болатын кездерде қолданылады. Мәселен тиынды немесе ойын сүйегін ақырлы рет лақтыру 
нәтижесінде пайда болатын ықтималдықтық модельдердің осындай
“
симметриялық
”
қасиеті бар болатынын байқау қиын 
емес. Шындығында да тиынды бір рет лақтырғанда 
“
Герб
”
не 
“
Цифр
”
түсуінің бір-бірінің алдында ешқандай 
артықшылығы жоқ, сондықтан да олардың әрқайсысының ықтималдығы 
1
2
тең. Сол сияқты егер тиынды екі рет 
лақтырсақ онда дәл бір рет 
“
Г
”
түсу ықтималдығы да 
1
2
, ал ең болмағанда бір рет
“
Г
”
түсу ықтималдығы
3
4
болған 
болар еді. Егер де тәжірибе ойын сүйегін бір рет лақтырудан тұрса, онда 1,2,...,6 нәтижелерінің әрқайсысының 
ықтималдығы 
1
6
тең, ал жұп ұпай түсу ықтималдығы 
3
6
=
1
2
,
“
3
”
-тен кем емес ұпай түсу ықтималдығы 
4
6
=
2
3
болған 
болар еді. т.с.с. 
Сонымен анықтамадан көрініп тұрғандай ақырлы ықтималдық кеңістігінде классикалық анықтама бойынша 
қандай да бір 
А
оқиғасының ықтималдығын табу үшін біз
А
-оқиғасының пайда болуына әкеп соғатын элементар 
оқиғалардың (“қолайлы жағдайлардың”) санын, яғни
А
-ны құрайтын элементар оқиғалар санын барлық элементар 
оқиғалар (“мүмкін болатын жағдайлар”) санына бөлуіміз керек. Басқаша айтқанда, классикалық анықтама негізінде 
оқиғаның ықтималдығын табу үшін біз қандай да бір жиындардың элементтерінің санын (қуатын) таба білуіміз қажет 
екен. Соңғыларды санау әдетте комбинаторика әдістері арқылы іске асырылатынын ескере отырып біз қазір 
комбинаторикалық талдаудың негізгі ұғымдарына тоқталамыз және де сәйкес ықтималдықтық негіздерді дамытуға 
тырысамыз.