Лекция: 52 сағат Практикалық сабақ: 50 сағат СӨЖ: 33 сағат Барлық сағат саны: 135 сағат

1. Геометриялық фигуралар.

2.Теоремалар мен дәлелдемелер.
Геометриялық фигуралар алуан түрлі болып келеді : үшбұрыш, квадрат, шеңбер, V геометриялық фигура нүктелерден құралған деп түсінеміз.

Нүкте мен түзу жазықтықтағы негізгі геометриялық фигура болып табылады. Жазықтықтағы нүктелер мен түзулердің негізгі қасиеттері:

1. Қандай түзуді алсақта, ол түзуге тиісті нүктелер де, оған тиісті емес нүктелер де болады.

Кез келген екі нүкте арқылы түзу жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

Кесінді деп түзудің берілген екі нүктесінің арасында жатқан барлық нүктелерінен тұратын бөлігін атайды. Бұл екі нүкте кесіндісінің ұштары деп аталады.

2. Түзудегі үш нүктенің біреуі және тек қана біреуі қалған екеуінің арасында жатады.

3. Әрбір кесіндінің 0 –де үлкен белгілі бір ұзындығы болады. Кесіндінің ұзындығы өзінің өзінің V нүктелерімен бөлінген бөліктері ұзындығының қосындысына тең болады.

Бұрыш деп бұрыштың төбесінен – нүктеден және сол нүктеден шығатын әр түрлі екі жарты түзуден – бұрыштың қабырғаларынан – тұратын фигураны айтады.

Қандай да бір геометриялық фигураның қасиеті туралы тұжырымның дұрыстығы пайымдау жолымен шығарылады. Бұл пайымдау дәлелдеме деп аталады. Дәлелденетін пікірдің өзі теорема деп аталады.

1. 
   Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш
   
2. 
   Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық
   
3. 
   Екі түзудің арасындығы ең қысқа қашықтық
   

,

4. 
   Параллель түзулер және параллель жазықтықтар
   
5. 
   Перпендикуляр түзу және жазықтық
   

1. Кеңістіктегі екі түзу бір жазықтықта жататын болып және өзара қиылыспайтын болса ондай екі түзу параллель түзулер деп аталады. Өзара қиылыспайтын және бір жазықтықта жатпайтын түзулер айқас түзулер деп аталады.

Теорема 1. Берілген түзуден тыс жатқан нүкте арқылы сол түзуге параллель түзу жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

Теорема 2. Қандай да бір түзуге параллель болатын екі түзу өзара параллель болады.

Теорема 3. Егер жазықтыққа тиісті емес түзу осы жазықтықтағы қандай да бір түзуге параллель болса, онда ол сол жазықтықтың өзіне де параллель болады.

Теорема 4. Егер бір жазықтықта жатқан қиылысатын екі түзу екінші жазықтықта жатқан қиылысатын екі түзуге сәйкесінше параллель болса, онда ол екі жазықтық параллель болады.

Теорема 5. Берілген жазықтықтан тыс жатқан нүкте арқылы берілген жазықтыққа параллель жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

2. Егер екі түзу тік бұрыш жасап қиылысатын болса, онда ол түзулер перпендикуляр түзулер деп аталады.

Теорема 1. Егер қиылысатын екі түзу перпендикуляр екі түзуге сәйкесінше параллель болса, онда олар өзара перпендикуляр болады.

Теорема 2. Егер жазықтықты қиятын түзу осы жазықтықта жатқан қиылысатын екі түзуге перпендикуляр болса, ол түзу жазықтыққа перпендикуляр болады.

Теорема 3. Егер жазықтық параллель екі түзудің біріне перпендикуляр болса, онда ол екінші түзуге де перпендикуляр болады.

Теорема 4. Бір ғана жазықтыққа перпендикуляр болатын екі түзу параллель болады.

1. 
   Дөңес көпбұрыштар
   
2. 
   Жазық көпбұрыштар
   
3. 
   Дұрыс көпбұрыштар
   

Егер сынықтың ұштары дәл келіп ұштасып жатса, оны тұйықталған сынық деп атайды. Егер жай тұйықталған сынықтың көршілес буындары бір түзудің бойында жатпаса, онда ол көпбұрыш деп аталады. Сынық төбелері – көпбұрыштың төбелері деп, сынық буындары - көпбұрыштың қабырғалары деп аталады. Көпбұрыштың көршілес емес төбелерін қосатын кесінділер диагональдар деп аталады. Көпбұрыштың n төбелері, n қабырғалары болса, оны n – бұрыш деп атайды.

Егер көпбұрыш оның кез-келген қабырғасын қамтитын түзуге қарағанда бір жарты жазықтықта жатса, оны дөңес көпбұрыш деп атайды. Сонда түзудің өзін жарты жазықтыққа тиісті деп түсінеді. Дөңес көпбұрыштың берілген төбесіндегі бұрышы деп осы төбеде тоғысатын оның өабырғаларынан құралатын бұрышты атайды.

Теорема. Дөңес n-бұрыштың бұрыштарының қосындысы 180⁰(n-2)-ге тең болады.

Дөңес көпбұрыштың барлық қабылғалары тең болса және барлық бұрыштары тең болса, оны дұрыс көпбұрыш деп атайды.

Егер көпбұрыштың барлық төбелері қандай да бір шеңбер бойында жатса, көпбұрыш шеңберге іштей сызылған деп аталады. Ал, егер көпбұрыштың барлық қабырғалары қандай да бір шеңберді жанап жататын болса, оны шеңберге сырттай сызылған деп атайды.

Теорема. Дұрыс дөңес көпбұрыш шеңберге іштей сызылған және шеңберге сырттай сызылған болып табылады.

1. 
   Сызу құралдары
   
2. 
   Салуға берліген қарапайым есептер
   

Геометрияда әрдайым сызу құралдарының көмегімен геометриялық фигуралар салуға берілген есептерді шешуге тура келеді. Кейбір жағдайда салу кезінде қандай сызу құралдарын пайдалану керек екендігі есепте айтылады. Ол айтылмаған жағдайларда салуға керекті құралдарды өзіміз таңдап алуымызға болады. Мектептегі геометрия курсында біз сызғыш, циркуль, бұрыштық, тронспортир сияқты сызу құралдарын пайдаланамыз. Құралдар жинағына байланысты салуға берілген есептердің әр түрлі тектері бар болады: циркульмен және сызғышпен салу; тек бір ғана циркульмен салу; жазықтықта шеңбер мен оның центрі сызылған жағдайда тек бір ғана сызғышпен салу; бұрыштықтың көмегімен салу; транспортирдің көмегімен салу.

Оның центрі а-дан R қашықтығында

жататын в//а түзуінде, ал О нүктесі

центрі М нүктесінде жататын, радиусы

R-ға тең шеңбердің в түзуімен қиылы-

су нүктесі болады.

Салуды мынадай ретпен орындаймыз:

1. 
   а-ға параллель және одан R қашықтықта болатын в түзуін жүргіземіз;
   
2. 
   Центрі М нүктесінде, радиусы R-ға тең болатын шеңбер жүргіземіз. Осы шеңбердің в түзуімен қиылысу нүктесі О іздеген шеңбердің центрі болады.
   

2. Салдарлары

Жаңа геометриялық бейне – жазықтықтағы енгізу акциомалар жүйесін кеңейте түсуге мәжбүр етеді. Сондықтан жазықтықтардың кеңістіктегі негізгі қасиеттерін өрнектейтін акциомалардың С тобын енгіземіз:

С1: Қандай жазықтық болса да, ол жазықтыққа тиісті нүктелер және оған тиісті емес нүктелер бар болады.

С2 :Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ негізгісі бар болса, онда олар осы нүкте арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.

Бұл аксиома, егер әр түрлі  және  жазықтықтарының ортақ негізгісі бар болса, онда осы жазықтықтардың әрқайсысына тиісті С түзуі бар дегенді білдіреді. Сонда, егер С нүктесі екі жазықтыққа да тиісті болса, онда ол С түзуіне тиісті болады.

С3: Егер әр түрлі екі түзудің ортақ негізгісі болса, онда олар арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

Егер әр түрлі а мен в түзулерінің бір ортақ негізгісі болса, а және в түзулерін қамтитын  жазықтықтағы бар болады. Мұндай қасиетке ие болатын жазықтық біреу ғана.
Лекция №23
Тақырыбы: Перпендикуляр және көлбеу

Жоспары:

1. 
   Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық
   
2. 
   Көлбеудің проекциясы
   

Жазықтық пен онда жатпайтын нүкте берліген болсын.

Берілген нүктеден берілген жазықтыққа түсірілген перпендикуляр деп, берліген нүктені берілген жазықтық нүктесімен қосатын және жазықтыққа перпендикуляр түзуде жатқан кесіндіні айтады. Бұл кесіндінің жазықтықта жатқан ұшы перпендикулярдың табаны деп аталады.

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық деп – осы нүктеден жазықтыққа түсірілген перпендикулярдың ұзындығын айтады.

Берліген нүктеден берілген жазықтыққа жүргізілген көлбеу деп жазықтыққа перпендикуляр емес, бір ұшы берліген нүктеде, екінші ұшы жазықтықта жататын кез-келген кесіндіні айтады. Кесіндінің жазықтықта жатқан ұшы көлбеудің табаны деп аталады. Бір нүктеден жүргізілген перпендикуляр мен көлбеудің табандарын қосатын кесінді көлбеудің проекциясы деп аталады.

Суретте А нүктесінен  жазық

тығына АВ перпендикуляры мен

АС көлбеуі жүргізілген. В нүктесі

перпендикулярдың табаны, С –

нүктесі –көлбеудің табаны, ВС-

АС- көлбеудің  жазықтығына

проекциясы.

1. Кеңістіктегі параллель түзулер.

2. Түзудің параллельдің белгісі.

3. Түзу мен жазықтықтың параллельдік белгісі.

4. Жазықтықтың параллельдік белгісі.
Кеңістіктегі екі түзу бір жазықтықта жататын болып және өзара қиылыспайтын болса, ондай екі түзу параллель түзулер деп аталады. Өзара қиылыспайтын және бір жазықтықта жатпайтын түзулер айқас түзулер деп аталады.

Теорема 1. Берілген түзуден тыс жатқан нүкте арқылы сол түзуге параллель түзу жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

Теорема 2. Қандай да бір түзуге параллель болатын екі түзу өзара параллель болады.

Түзу мен жазықтық қиылыспайтын болса, олар параллель деп аталады.

Теорема 3. Егер жазықтыққа тиісті емес түзу осы жазықтықтағы қандай да бір түзуге параллель болса, онда ол сол жазықтықтың өзіне де параллель болады.

Егер екі жазықтық қиылыспайтын болса, олар параллель жазықтықтар деп аталады.

Теорема 4. Егер бір жазықтықта жатқан қиылысатын екі түзу екінші жазықтықта жатқан қиылысатын екі түзуге сәйкесінше параллель болса, онда ол екі жазықтық параллель болады.

Лекция №25
Тақырыбы: Кеңістіктегі декарттық

координаталар және векторлар

Жоспары:

1. 
   Кеңістікте декарттық координаттар енгізу
   
2. 
   Нүктелердің ара қашықтығы
   
3. 
   Кеңістіктегі параллель көшіру
   
4. 
   Кеңістікте векторлаға амалдар қолдану
   

О нүктесінде қиылысатын өзара перпендикуляр x, y, z үш түзу алайық. Осы түзулердің әрбір пары арқылы жазықтық жүргіземіз. Х және у түзулері арқылы өтетін жазықтық ху жазықтығы деп аталады. Басқа екі жазықтық сәйкес xz және yz жазықтығы деп аталады. x, y, z түзулері координаттық осьтер деп, олардың қиылысу О нүктесі координаттар басы деп, ал ху, уz немесе хz жазықтықтары координаттық жазықтықтар деп аталады.

Кеңістікте параллелькөшіргенде әрбір жазықтық не өзіне не оған параллель жазықтыққа көшеді.

1. 
   Аудан және көлем ұғымы
   
2. 
   Беттің ауданы мен көлемін есептеу
   

Қарапайым фигура үшін аудан дегеніміз оң шама, оның сандық мынадай қасиеттері бар :

1. 
   Тең фигураның аудандары тең болады.
   
2. 
   Егер фигура жай фигура болып табылатын бөліктерге бөлінетін болса, онда бұл фигураның ауданы оның бөліктерінің аудандарының қосындысына тең болады.
   
3. 
   Қабырғасы бірлік өлшемге тең квадраттың ауданы бірге тең болады.
   

Қарапайым денелер үшін көлем - оң шама, оның сандық мәнінің төмендегідей қасиеттері бар:

1. 
   Тең денелердің көлемдері тең болады.
   
2. 
   Егер дене қарапайым денелер болып, табылатын бөліктерге бөлшектенетін болса, онда бұл дененің көлемі оның бөліктерінің көлемдерінің қосындысына тең болады.
   
3. 
   Қыры ұзындық бірлігіне тең кубтың көлемі бірге тең болады.