Логика в школьном курсе математики
жүктеу/скачать 207,37 Kb. Pdf көрінісі
|
logic 2 глава
| x
=
x
+ 1 можно полагать бессодержательным. Мало ли что можно написать, если не сказано, что делать дальше. Поэтому, рассматривая уравнение, говорят: «решить», «найти x ».) При этом надо оговорить, что термин «следует» («следствие») при решении уравнений означает не то же самое, что в логике из-за возможного случая отсутствия решения исходного уравнения 3 . Мне больше нравится второй вариант. (Этот разговор с соответствующими поправками переносится на равносильность и использование знака ⇔ .) Второй момент, когда приходится обсуждать с учениками расхождение формального и содержательного, возникает при встрече с задачей, условие которой противоречиво. Тут я подробности опускаю, ибо об этом говорил выше. Внедрение формальной логики в математическое образование полезно, но следует соблюдать разумные границы. Надо хорошо понимать, что введение её чревато некими методическими проблемами, ибо она не вполне согласуется как с математическим, так и с естественным языком. Если я говорю: «2 + 2 равно 4 или 5», то это верно с точки зрения логики, но неверно в житейском понимании. Демонстрируя преимущества использования формальной логики, не стоит забывать о том, что в ней есть свои проблемы. Существуют предложения, которые противоречат сами себе, например, знаменитое : «Я лгу», а также «Никогда не слушайте чужих советов!» и т.п. С помощью двух предложений можно доказать все, что угодно. Вот пример из Р.Смаллиана. На листе бумаги записываем предложения: 1. Астрология – точная наука. 2. Оба предложения на этом листе – ложные. Поразмышляв, «получаем», что «астрология – точная наука». Известны логические парадоксы из древности (парадокс лжеца) и последних времен (парадокс Рассела, парадокс Ришара, парадокс Берри, парадокс Греллинга ). Их обсуждению посвящена обширная литература. Возможности формальной логики в установлении истинности не беспредельны, даже если все суждения достаточно чётки. Мы знаем, конечно, что она может выручить в сконструированных специальным образом задачах, когда требуется установить, кто лжёт, а кто говорит правду. Но из двух простеньких суждений: «Вася говорит, что Федя лжёт» и «Федя говорит, что Вася лжёт» средствами формальной логики не установить, кто из
ребят говорит правду (пример Ж.Буридана). Вообще, формальный ригоризм в школьном курсе вряд ли уместен. Нет вреда в том, что иногда для удобства приходится переходить на некоторое арго. Более того, иногда логика бывает даже не в ладах с математикой. Так, в логике различают доказательство
и доказательство от противного . Математики называют доказательством от противного рассуждение, основанное на контрапозиции, и не обращают на существующую разницу никакого внимания. Полагаю, что не стоит здесь вдаваться в различие между двумя этими толкованиями, хотя в дидактической литературе предлагают это сделать. Практичнее остановиться на ясной позиции, именно: для доказательства теоремы A
→ B
предполагают истинным высказывание B
и пытаются вывести отсюда справедливость высказывания A B → ; если это удаётся (т.е. если доказана теорема , A B →
противоположная обратной), то исходная теорема А
→ В
также считается доказанной. Различие между логикой и математикой в этой нестыковке я понимаю так. В школьном курсе математики предложения в основном доказывают, почти никогда не опровергают, очень редко исследуют (раньше исследование встречалось гораздо чаще – в задачах на построение, в решении уравнений с параметром). Для того чтобы опровергнуть математическое предложение, достаточно получить такое его следствие, которое противоречит чему-то известному или данному в условии. Опровержение математического предложения может состоять в доказательстве предложения, являющегося его отрицанием, – косвенном доказательстве (замечу, что косвенные доказательства невозможны в юридической практике: работает так называемая презумпция невиновности). В таком случае говорим, что мы доказали «от противного». В задачах исследовательского характера мы изначально не знаем, с каким предложением имеем дело: истинным или ложным. Начинаем получать из него следствия. Если приходим к противоречию, то исходное предложение является ложным. При этом можно считать, что попутно мы доказали (косвенно) предложение, являющееся отрицанием данного. В неявном виде здесь «упрятан» закон исключённого третьего, абсолютная применимость которого принимается не всеми математиками. Наконец, символическая логика не всегда удобна в работе. Если для работы с компьютером она годится всегда, то при работе с людьми иногда стоит предпочесть более наглядные соображения. Разумеется, сюда можно отнести работу с кругами Эйлера (по моему разумению их корректное использование - доказательство. Следующий полезный шаг в деле внедрения логики в школьный курс математики – знакомство учеников с
жүктеу/скачать 207,37 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|