Логика в школьном курсе математики
отношение следования
жүктеу/скачать 207,37 Kb. Pdf көрінісі
|
logic 2 глава
| отношение
(«из
A
следует B », «
A
влечёт B ») означает, что импликация «если A , то
B » верна при условии истинности A . При ложности A
сказать «из A
следует B »
просто невозможно – не тот случай. Иначе говоря, изо лжи ничего не следует. Можно сказать: «Если 2 ×
× 2
= 5 следует , что существуют ведьмы». Я могу сказать: «Если 0 = 1, то 1 = 2», но язык не повернётся сказать: «Из того, что 0 = 1
, что 1 = 2». (У некоторых моих весьма компетентных знакомых – повернётся.) Мне хочется упомянуть один пример В.Арнольда . В нём приводится следующее определение импликации из французского учебника для математиков: «Пусть
и B –
два любых утверждения. Если они оба верны, то говорят, что из A
вытекает B ». Далее В.Арнольд пишет: «После таких «импликаций» учить студентов каким бы то ни было естественным наукам бессмысленно: они думают, что из того, что дважды два четыре, «вытекает», что Земля вращается вокруг Солнца». Чтобы различать импликацию и следование, в формальной логике для импликации часто употребляется не союз «если – то», не глагол «следует», а глагол «имплицирует». Скажем так: «Равенство 2 × 2 = 5 имплицирует
существование ведьм». Будь такой оборот принят повсеместно, вряд ли кто-то стал бы удивляться, и вороны в Древней Греции не каркали бы. Но ни в обыденной речи, ни в школьной математике термина «имплицирует» нет, да и вряд ли он привьется – по иррациональным соображениям. И с обозначениями можно напутать. Знаки импликации (чаще всего →) и следования (чаще всего ⇒ ) не равноправны, а потому их употребление требует точности. Здесь имеется несколько заморочек. Одна из них такова: знак ⇒
у некоторых авторов означает импликацию, а для следования используется знак ⊃
определить, каково употребление в школьной математике не только слов «если…, то…», «следует», но и знаков → ,
⇒ . Однако этого, увы, нет. Приведу примеры того, как путаница в терминологии и обозначениях сказывается на решении уравнений, неравенств, систем (дальше я для краткости буду говорить только об уравнениях), если трактовать их как предикаты. Такая точка зрения очень четко выражена А. Земляковым:«В действительности алгебраические задачи с переменными относятся к математической логике, и в ней они называются предложениями с переменными. Например, уравнение можно определить как предложение, имеющее вид равенства между двумя выражениями (содержащими переменные)». И далее дается такое определение уравнения: «…уравнением с переменной x
называется предложение, имеющее вид равенства между двумя выражениями, содержащими эту переменную». (В это определение не вписывается, например, равенство x 2
= 1, но сейчас речь не об этом.) При решении уравнений авторы многих пособий при переходе от имеющегося уравнения к следующему как выводному (не равносильному) говорят, что второе уравнение есть следствие первого, и ставят знак ⇒ .
следовании, по сути – об отношении включения между двумя множествами. Однако при решении уравнения не исключен случай отсутствия корней. Я вижу здесь некое противоречие: из ложной посылки не бывает следствий, однако пустое множество включено в любое множество. Так что, в этом случае возвращаться к толкованию процесса решения уравнения как к импликации предикатов? Есть два выхода из положения. Первый – формальный: трактовать уравнение как предикат и ставить между уравнениями знак импликации ( → ). Второй вариант – не рассматривать уравнение как предикат, считать, что оно предполагает некий императив. (Само по себе равенство жүктеу/скачать 207,37 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|