Математика қазіргі кезде ғылым саласында ерекше орын алады. Математиканың ғылыми теориялық ізденістерімен бірге тәжірибелік қолданыстарының да ауқымының кең екені белгілі

Теңсіздік ұғымы жазылу тәсіліне байланысты анықталатыны белгілі. Сонымен, ≠ (тең емес), < ( кіші), > (үлкен), ≤ (кіші немесе тең) немесе ≥ (үлкен немесе тең) таңбалары арқылы құрылған алгебралық өрнектер теңсіздіктер деп аталады. Сандық теңсіздіктер анықтамасын берейік:

• 
  a саны b санынан үлкен, егер a−b айырмасы оң сан болса ғана;
  
• 
  a саны b санынан кіші, егер а−b айырмасы теріс сан болса ғана;
  
• 
  a саны b санына тең, егер a−b айырмасы нөлге тең болса ғана.
  

a және a>a теңсіздіктері ақиқат болмайтынын білдіретін антирефлексивтілік қасиеті.
Шынында да, кез келген а саны үшін a−a=0 теңдігі орындалатыны белгілі, осыдан тең сандардың айырымдық анықтамасы арқылы a=a теңдігі шығады. Демек, a және a>a жалған теңсіздіктер.
Мысалы, 5<5, жалған теңсіздіктер
Антисиметриялық қасиеті: егер а және b сандары үшін a теңсіздігі орындалса, онда b>a теңсіздігі дұрыс болады, ал а>b теңсіздігі орындалса, онда bтеңсіздігі дұрыс болады.
Мысалы, 17<19 теңсіздігін 19>17 түрінде жазуға болады, сол сияқты -2,78>-5,16, -5,16<-2,78.
Транзитивтілік қасиеті: a, b және c сандары a және b болатындай болса, онда a, ал а>b және b>c болса, онда а>c.
Транзитивтілік қасиетінің бірінші тұжырымын дәлелдеп көрейік. a және b шарттары a−b және b−c теріс сандар екенін білдіреді. a−c айырмасын (a−b)+(b−c) түрінде көрсетуге болады, ол теріс сандарды қосу ережесінен туындайтын a−b және b−c екі теріс сандарының қосындысы ретінде теріс сан болып шығады. Осылайша, a − c теріс сан, ол дәлелденуі тиіс a дегенді білдіреді. Транзитивтілік қасиетінің екінші бөлігі дәл осылай дәлелденеді.
Мысалы, -2<7, 7<13 болғанынан -2<13 теңсіздігі шығады.
Оны жоғарыдағы «көп» және «аз» қатынастарының анықтамасына сілтеме жасай отырып негіздейік. Бірінші бөлімнен бастайық. aa. Қарастырылып отырған мүліктің екінші бөлігі де дәл осылай дәлелденеді.
Кез келген а және b сандары үшін мынадай теңсіздіктер өзара теңкүштес деп есептеледі: аa, a–b<0 және b–a>0. Сонымен қатар мына теңсіздіктер де теңкүштес болады: аb, ba, a–b0 и b–a0. Бұл теңсіздіктерді дәлелдеу үшін көбіне мынадай қасиетті пайдаланылады: егер аb және bа болса, онда а=b. Есептерді шешуде жиі қолданылатын сандық теңсіздіктердің қасиеттерін атап өтейік: кез келген а, b, с және d сандары үшін 1) мынадай теңсіздіктерден аb және bс мына теңсіздіктер алынады: ас; 2) аb теңсіздігіне мына теңсіздік теңкүштес а+сb+с; 3) с саны оң сан болғанда аb теңкүштес асbс; 4) с саны теріс сан болғанда аb теңкүштес bсас; 5) аb және сd теңсіздіктерінен а+сb+d және а–db–с шығады; 6) a, b, c, d сандары оң сан болғанда аb және cd теңсіздіктерінен acbd және a/d b/c шығады.
Барлық көрсетілген 1)-6) қасиеттерінде “ ” таңбасының орнына “<” таңбасын қоюға болады.
Сандық теңсіздіктердің мынадай қасиеттерін пайдалануға болады 7) кез келген  және натурал n сандары үшін  a теңкүштес   
Мынадай сандық теңсіздіктерді шешу мысалдарын қарастырайық.

жүктеу/скачать 0,56 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: