IX. Туынды мен интегралды қолданып дәлелдеу тәсілі
Егер функция f(x) және g(x) І аралығында анықталса, және үздіксіз болса, онда, f(x) g(x) теңсіздігін [a,b]=I немесе [a, +∞)=I аралығында дәлелдеу үшін, келесі теореманы қолдануға болады:
Теорема: Егер f(x) және g(x) І аралығында дифференциалданса,
f(a) g(a) осы аралықта және h’(x) 0, мұндағы h(x)= f(x) – g(x), онда
f(x) g(x) теңсіздігі осы аралықта орындалады.
№1. 2x+1>x+2, x 1 теңсіздікті дәлелде.
Дәлелдеуі: функция h(x)=2x+1-x-2 [1,+∞) аралығындағы функцияны қарастырамыз.
h(1)=1 және h/(x)=2x+1ln2-1 функциясы y=2x [1, + ) аралығында өспелі болады, ендеше h/(x) 4ln2-1>0 бұдан x 1, h(x) h(1) болса немесе
2x+1 x+3,
2x+1>x+2 онда орындалады.
Мектепішілік олимпиада
№1.Теңсіздікті дәлелдеңдер.
(a+в+c)( + + )≥9 (мұндағы а>0, в>0,с>0)
Теңсіздіктің сол бөлігін түрлендірейік:
(a+в+c)( + + )=1+ + +1+ + + + +1=3( + )+( + )+( + )≥
≥3+2+2+2=9 (себебі әр жақшаның ішіндегі қосынды 2-ге тең немесе одан үлкен).
№2.
≥а1 а2 а3 а4 (мұндағы а1 >0,а2>0, а3>0, а4 >0 )
Нұсқау.Екі оң санның арифметикалық орташасы мен геометриялық орташасын екі рет салыстыруды қолданамыз.
№3.Егер а2+в2 =1 болса , │а+в│≤ онда екенін дәлелдеңіздер.
және екені есептің шартынан шығады. Сондай –ақ а2+в2 =1 болғандықтан, а мен в-ны синуспен және косинуспен ауыстыруға болады: a=sinα , в=cosα. Онда а+в=sinα+cosα=sinα+sin = =2sin cos = cos .
cos ≤1.Демек , │а+в│≤ .
Басқаша талқылап көрелік: 1=а2+в2≥2 =2 ; 2≥а2+в2+2 = ;
≥ .
Аудандық олимпиада
Достарыңызбен бөлісу: |
