І. Қарапайым теңсіздіктерді дәлелдеу Мектеп көлемінде қарапайым теңсіздіктер дәлелденеді, сол теңсіздіктер арқылы күрделі теңсіздіктерде дәлелденеді.
№1 а2 + b2 ≥ 2ab.
Дәлелдеуі:
a2+ b2 - 2аb = (а – b)2 ≥ 0.
№2
кез келген a және b үшін.
Дәлелдеуі:
Берілген теңсіздіктен , біз мына теңсіздікті аламыз бұдан немесе соны мына түрде жазамыз бұдан
II. Штурм әдісін қолданып теңсіздікті дәлелдеу Бұл әдісті неміс математигі Р.Штурм ұсынған. Бұл әдістің көмегімен бірнеше теңсіздікті дәлелдейік:
№3 Егер қосындысы 1-ге тең болса, онда дәлелдеу керек
Дәлелдеуі:
Егер онда .
Қаралатын сандардың ішінде ең болмағанда екі сан бір-біріне тең болмаса, онда сандардың ішінен екі сан табылады, сонын біреуі - нан үлкен болады, ал екіншісі кіші болады. Осы сандар болсын, және де болсын, онда - ді -ні - мен алмастырып, мынандай теңсіздік аламыз және олардың қосындысы 1-ге тең.
болғандықтан, осыдан
.
Осы амалды бірнеше рет қайталап, шыққан тізбектің кез келген мүшесі -ге тең, ал олардың квадраттарының қосындысы берілген сандардың квадраттарының қосындысынан кіші болады.
III. Арифметикалық, геометриялық, квадраттық, гармониялық орталардың ара қатынасын қолдану әдісі Кейбір теңсіздіктерді дәлелдегенде, оң a және b сандары үшін арифметикалық, геометриялық, квадраттық, гармониялық орталардың ара қатынасын қолданады: .
Мына өрнекте гармониялық орта,
– геометриялық орта,
– арифметикалық орта,
– квадраттық орта.
Бұл теңсіздікті дәлелдеу әдісі күрделі теңсіздіктерді дәлелдеуде көп қолданылады.
№4 теңсіздікті дәлелде , мұндағы
Дәлелдеуі: егер , онда - ны қолданып,
-ны (1) аламыз және осыдан (2)
(1) және (2) қосып аламыз.
