Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері.
1-қасиет. Тұрақты көбейткішті анықталған интегралдың таңбасының алдына шығаруға болады, яғни .
2-қасиет. Бірнеше функциялардың алгебралық қосындысының анықталған интегралы сол қосылғыштардың анықталған интегралдарының қосындысына тең болады, яғни .
3-қасиет. [a,b] кесіндісінде, мұндағы a4-қасиет. Егер m және M f(x) функциясының [a,b] кесіндісіндегі ең кіші және ең үлкен мәндері болсын, мұндағы , онда болады.
5-қасиет. (Орта мән туралы теорема).
Егер f(x) функциясы [a,b] кесіндісінде үздіксіз болса, онда теңдігі орындалатындай [a,b] кесіндісінде бір нүктесі табылады.
6-қасиет. Кезкелген үш сан а, в, с үшін теңдігі орындалады.
Ньютон-Лейбниц формуласы.
Жоғары шегі айнымалы болатын интегралдың туындысы туралы теорема интегралдың қосынды мен шекке көшусіз ақ анықталған интегралды есептеудің жеңіл жолын көрсетуге көмектеседі. Сондықтан, егер F(x)-f(x) функциясының бір алғашқы функциясы болса, онда I(x)=F(x)+C немесе (*) болады.
болғандықтан, (*) теңдікте х=а қойсақ, болады. Бұдан C=-F(a) болады. Олай болса, болады. Егер х=в болса, (**) болады. Бұл (**) формула Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады. Ол анықталған интегралды есептеу үшін қолданылады. F(b)-F(a) айырмасын белгілейміз. . Осы белгілеуді пайдаланып, Ньютон-Лейбниц формуласын былай жазуға болады. .
Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру.
.берілсін, мұндағы f(x) функциясы [a,b] кесіндісінде үздіксіз болcын. формуласымен жаңа айнымалы t-енгізейік.
Егер 1)
2) кесіндісінде үздіксіз болсын.
3) кесіндіде анықталған және үздіксіз болсын. Сонда анықталған интегралда айнымалыны ауыстырудың төмендегідей формуласы орынды болады. .
Достарыңызбен бөлісу: |
