«Математиканы оқыту теориясы» пәнінің оқу-әдістемелік материалы

1. Материалдық нүкте қозғалысының орташа және лездік жылдамдықтары деп нені түсінесіңдер? Лездік жылдамдық қалай анықталады?

2.y=f(x)функциясы графигіне жүргізілген жанама деп нені түсінесіңдер? Жанаманың бұрыштық коэффициенті қалай анықталады?

3. Функцияның нүктедегі туындысы ұғымына анықтама беріңдер. Туындыны қалай белгілейді? Туындының механикалық және геометриялық мағыналары қандай?

1. Функцияның анықталу облысын табу;

2. Функцияның жұп, тақ және периодты екенін анықтау;

3. Функция графигінің координталар осьтерімен қиылысу нүктелерін анықтау;

4. Таңба тұрақтылығы аралықтарын табу;

5. Өсу және кему аралықтарын, экстремумдарын табу;

6. Функцияның графигін салу.

Негізгі сөздер: функция, график, өспелі, кемімелі, максимум, минимум, экстремум нүктесі, стационар (кризитік, қауіпті) нүкте, интервал.
Теорема - 1.

І. Функцияның өсу және кему аралықтары

1) Функцияның өспелі болуының жеткілікті шарті:

Егер (a;b) интервалының әрбір нүктесінде f '(x)>0 теңсіздігі орындалса, онда функция осы аралықта өспелі болады.

2) Функцияның кемімелі болуының жеткілікті шарты:

Егер (a;b) интервалының әрбір нүктесінде f '(x)<0 теңсіздігі орындалса, онда функция осы аралықта кемімелі болады.

2) тұжырым да осы сияқты дәлелденеді.

Теоремадағы a және b сандарының орнына сәйкес - және + символдарын алуға болады. Бұл жағдайда да теорема орындалады. Сонымен қатар, жоғары математика курсында f '(x)>0, x_{2 }(a;b) (немесе f '(x)<0) шарты функцияның (a;b) аралығында өспелі және кемімелі болуы үшін қажетті және жеткілікті болатындығы жөніндегі сәйкес тұжырымдар дәлелденеді.

1-мысал. f(x) = 3x – x³ функциясының өспелі және кемімелі болатын аралықтарын анықтау қажет.

Шешуі. Берілген функция (-, +) аралығында анықталған және бұл аралықтың барлық нүктелерінде туындысы бар: f '(x) = 3 – 3x² немесе

f '(x) = -3(х-1)(х+1). Онда f '(x) туындысының таңбасы оң болған аралықтарда функция өспелі, ал теріс болған аралықтарда функция кемімелі болады. Туындының таңбасын бізге белгілі интервалдар әдісімен анықтайық (69-сурет). Сонда (-1;1) аралығында функция өспелі, ал (-, -1)_(1; +) аралығында функция кемімелі болады. Оның графигі 70-суретте кесінделген.

ІІ. Функция экстремумдарының қажетті және жеткілікті шарттары.

Теорема - 2. (Экстремумның қажетті шарты). Айталық, y=f(x) функциясы x₀ нүктесінің маңында анықталып, осы x₀ нүктесі функцияның экстремум нүктесі болсын. Онда f '(x₀)=0 немесе функцияның x₀ нүктесінде туындысы болмайды.

Дәлелдеуі. Анықтық үшін, x₀ функцияның максимум нүктесі болсын делік. Онда анықтама бойынша x₀ нүктесінің (x₀ –_; x₀ +_), (_>0) аймағы табылып, осы аймақта функцияның ең үлкен мәні f(x₀) болады. Егер x₀ нүктесінде функцияның туындысы бар болса, онда Ферма теоремасы бойынша f (x₀)=0. Немесе x₀ нүктесінде функцияның туындысы болмайды. Теорема дәлелденді.

Жалпы, функцияның туындысы нөлге тең болатын немесе туындысы болмайтын нүктелерін оның стационар (кризистік, қауіпті) нүктелері деп атаймыз. Мысалы, графигі 71-суретте бейнеленген функция үшін x₁, x₂, x₃, x₄ – стационар нүктелер. Өйткені x₁, x₂, x₃ сияқты нүктелерде функция туындысы нөлге тең болатынын, ал x₄ сияқты нүктелерде функцияның туындысы болмайтынын төмендегі мысалдардан көреміз.

2-мысал. 72-суретте y=|x| функциясының графигі бейнеленген. Бұл функцияның x=0 нүктесінде туындысы болмайтынын жақсы білеміз. Яғни x=0 стационар нүкте. Графиктен функцияның бұл нүктеде өзінің минимумын қабылдайтынын көреміз.

3-мысал. y=x³ функциясының туындысы x=0 нүктесінде нөлге тең. Дегенмен функцияның бұл нүктеде экстремумы жоқ (73-сурет).

4-мысал. y=2х+|x| функиясын қарастырайық (74-сурет). x=0 нүктесі – берілген функция үшін стационар нүкте. Өйткені бұл нүктеде функцияның туындысы болмайды. Суреттен x=0 нүктесінде функцияның экстремумы жоқ екенін көреміз.

Сонымен, әрбір стационар нүктеде функцияның экстремумы бола бермейді (3 және 4-мысалдар). Сондықтан берілген қауіпті нүктеде функцияның экстремумы бар немесе жоқ екенін анықтау үшін төмендегі экстремумның жеткілікті шартын беретін теореманы қолданады.

Теорема – 3. (Экстремумның І жеткілікті шарты). Егер f(x) функциясы x₀ нүктесінде үздіксіз, (a; x₀)және (x₀; b)аралықтарында функция туындысы f (x)-тің таңбасы әр түрлі болса, онда x₀ функцияның экстремум нүктесі болады. Атап айтқанда:

f(x)₀) және әрбір x _(x₀; b) үшін f(x)₀) болатындығы шығады. Яғни кез келген x_(a; x₀), x_ x₀ үшін f(x)₀) теңсіздігі орындалады. Онда x₀ - максимум нүктесі. Теореманың ә) пункті де осы сияқты дәлелденеді.

Сонымен функцияның экстремум нүктелерін анықтауды мынадай ережелермен орындаған жөн:

1) Функцияның стационар (қауіпті) нүктелерін анықтау керек, яғни функция туындысының нөлге тең болатын нүктелері мен туындысы болмайтын нүктелерді табу қажет.

2) Әрбір стационар нүктенің маңында туындының таңбасын зерттеу керек. Егер сол жақтан оңға қарай қауіпті нүкте арқылы өткенде: а) функция туындысының таңбасы «+» -тен «-»-ке өзгерсе, онда бұл стационар нүкте максимум нүктесі болады; ә) функция туындысының таңбасы «-»-тен «+»-ке өзгерсе, онда бұл стационар нүкте минимум нүктесі болады; б) функция туындысының таңбасы өзгермесе, онда бұл стационар нүкте экстремум болмайды.

Мысалы, 1-мысалда у=3x-x³ функциясын қарастырдық. Бұл функцияның туындысы y'=3-3x²=3(1-x)(1+x) түрінде жазылады. Онда x₁=-1, x₂=1 – стационар нүктелер. 69-суретте туындының таңбаларын көрсеткенбіз. Осыдан x₁=-1 минимум нүктесі, ал x₂=1 максимум нүктесі болады. (70-сурет).

Осы 2-мысалда y=|x| функциясы үшін x=0 – қауіпті нүкте. Егер x<0 болса, онда y = -x және y' = -1<0, ал x>0 болса, онда y = x және y'=1>0. Яғни x=0 нүктесінің сол жағында y'<0, ал оң жағында y'>0. Онда x=0 бұл функцияның минимум нүктесі (72-сурет).

y=x³ функциясы үшін x=0 – қауіпті нүкте. Ал y'=3x²0 болғандықтан, x=0 нүктесінің маңында туындының таңбасы өзгермейді. Онда теорема-2 бойынша x=0 нүктесі бұл функция үшін экстремум нүктесі болмайды (73-сурет).

ІІІ. Функцияны зерттеп, оның графигін салудың қарапайым жоспары.

Функцияны зерттеуді мынадай жоспар бойынша орындаған тиімді:

1. Функцияның авнықталу облысын табу қажет;

2. Егер бар болсы, функцияның үзіліс нүктелерін анықтап, оның вертикаль асимптоталарын табу керек;

3. Функцияның тақ-жұптығын, периодтылығын анықтау қажет;

4. Функцияның графигінің координаталар осьтерімен қиылысу нүктелерін табу керек;

5. Функцияның қауіпті нүктелерін табу керек;

6. Функцияның өсу және кему аралықтары мен экстремумдарын анықтау қажет;

7. Қажет болса, функция графигіне тиісті тағы бірнеше нүктенің координаталарын тауып, анықталған мәліметтерді кестеге толтырған тиімді. Соңында осы мәліметтерге сүйене отырып, функция графигінің жобасын салу керек.

Қайталау сұрақтары:

1. Функцияның өсу жіне кему аралықтары қалай анықталады?

2. Экстремум нүктесі дегеніміз не? Қандай нүктелер максимум (минимум) нүктесі деп аталады? Анықтама беріңдер.

3. Қандай нүктелер қауіпті (кризимтік) нүктелер деп аталады?

4. Экстремумның қажетті шартын тұжырымдап, оны дәлелдеңдер.

5. Экстремумның І жеткілікті шартын тұжырымдап, оны дәлелдеңдер.

6. Функцияның экстремумдарын (максимумын және минимумын) анықтау ережелерін тұжырымдап, оның мағынасын түсіндіріңдер.

№3. Мектеп математика курсындағы алғашқы функция мен интеграл.Математика курсындағы алғашқы функцияның ролі. Интегралды енгізу әдістемесі. Интегралдың қолданысы. Жай дифференциалдық теңдеулер.

     

Дифференциалдау мен интегралдау амалдары өзара кері амалдар. Функцияның алғашқы функциясын табу операциясын интегралдау деп атайды. 

Анықтама:  Кез келген  жиынында өзгеретін  үшін  теңдігі орындалса онда  функциясын  функциясының алғашқы функциясы дейді.

Алғашқы функция анықтамасын қолданып есептер шығаруға мысалдар қарастырайық:

1-есеп: 

 функциясы  аралығында  функциясы үшін алғашқы функция болатынын көрсетейік.

 теңдігін қолдансақ:

мұндағы ;   дәлелдеу керегі осы болатын.

2-есеп:   функциясы үшін графигі  нүктесі арқылы өтетін алғашқы функцияны анықтаңыз.

Шешуі:   функциясы үшін алғашқы функция  болады.

Себебі       (1)  теңдікке  мәндерін қойып:

   теңдеуінен С мәнін анықтаймыз.

. Сонымен алғашқы функция  болады.

Анықтама:  функцияларының барлық алғашқы функцияларының жиынтығы   берілген функциясының анықталмаған интегралы деп аталады.

 

 

Мынадай түрде жазылады:

                                     (1)

Мұндағы - интегралдау белгісі, х –интегралдау айнымалысы, –ті интеграл таңбасы астындағы функция, ал  - интеграл таңбасы астындағы өрнек дейді,  - алғашқы функцияның жалпы түрі,  - кез келген тұрақты сан, -тің дифференциалы.

Есептерді шешуде  функциясы бойынша алғашқы функциялардың  жалпы түрін табу қойылады. –ты негізгі алғашқы функция дейді.

Анықталмаған интегралдың қасиеттері:

1. -тұрақты сан.

2. 

3. 

4.   [1].

 
Интегралды табуда мынадай жағдайларды ескеру керек:

1. Интегралды табуды тікелей кестелік интегралды пайдаланып есептеуге болады.

2. Анықталмаған интегралдың қасиеттерін пайдалану нәтижесінде интегралды есептеуді бір немесе бірнеше кестелік интегралдарды есептеуге алып келуге болады.

3. Интеграл таңбасы астындағы функцияны түрлендіру және интеграл қасиеттерін пайдалану нәтижесінде бір немесе бірнеше интегралдар есептеуге тура келеді.

Егер  болса, онда  орындалады.

Мұнда  аргументі жаңа  аргументімен ауыстырылған. Интеграл берілген күйінде кестелік интегралға келмейтін кезде көптеген жағдайларда, интеграл астындағы өрнекті түрлендіру арқылы оны кестелік интегралға келтіруге болады. Мұндай жағдайда қандай түрлендіру жүргізу керек екенін білу қажет.

Егер интеграл  түрінде беріліп,  теңдігі орындалса, онда интегралды кестелік интегралға келтіруге болады, яғни

 Енді мына  интегралды қарастырайық.

Интеграл астында тұрған түбірді дәреже түрінде жазсақ, онда . Жоғарғы мысалдарда көрсетілгендей  мұндағы - туынды алу ұғымын білдіреді. Осыдан . Сондықтан интегралды төмендегіше жаза аламыз: [3].

 Есептің шығару жолдары:

№1. , есептеңіз.

жүктеу/скачать 12,33 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: