Матрицалар және анықтауыштар Матрицалар Матрица
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Айнымалылары ажыратылытын теңдеулер. Біртекті дифференциалдық теңдеу
жүктеу/скачать 1,46 Mb.
|
аегеом конспект лето20 (1)
| Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Айнымалылары ажыратылытын теңдеулер. Біртекті дифференциалдық теңдеу.
Ұғымдар мен анықтамалар 1 анықтама. түріндегі өрнектерді дифференциалдық теңдеу деп атайды. 2 анықтама. Дифференциалдық теңдеу деп тәуелсіз айнымалыны, оған тікелей тәуелді белгісіз функцияны және оның тәуелсіз айнымалы бойынша алынған әртүрлі реттегі туындыларын байланыстыратын теңдеуді айтады. 3 анықтама. Егер функция тек бір аргументтен тәуелді болса, онда дифференциялық теңдеу жай дифференциалдық теңдеу деп аталады. 4 анықтама. Теңдеуге кіретін туындылардың ең жоғарғы реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады. 5 анықтама. Егер функция бірнеше аргументтен тәуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп аталады. Мысалдар. 1. бірінші ретті дербес туындылы диффиренциалдық теңдеу. 2. төртінші ретті дифференциалдық теңдеу. 6 анықтама. функциясын дифференциалдық теңдеуге қойғанда оны теңбе теңдігіне айналдыратын болса, онда функциясын дифференциалдық теңдеудің шешімі деп атайды. дифференциалдық теңдеудің шешімін табу жолы осы теңдеуді интегралдау деп аталады. Егер шешімін элементар функциялар арқылы табуға мүмкін болса (көп жағдайда керісінше), онда теңдеу элементар функциялар бойынша интегралданады деп аталады. Мысалдар. 1. 2. теңдеуі элементар функциялар бойынша интегралданбайды. Егер дифференциалдық теңдеудің шешімдері белгілі функциялар арқылы табылса, онда дифференциалдық теңдеу квадратурада интегралданады деп айтылады. Біз тек жай дифферециалдық теңдеулерді ғана қарастырамыз. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер (1) түріндегі теңдеу бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады. Егер (1) теңдеуден туындысын
түрінде өрнектесек, онда оны туындысы арқылы шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп атайды. (2) теңдеудің шешімі болып табылатын және (3) шартын қанағаттандыратын функциясын табу керек. Мұндай есеп Коши есебі немесе бастапқы есеп деп ал (3) шарт бастапқы шарт деп аталады. Шешімнің бар және жалғыз болуы туралы теоремалар (Пикар, Коши, Пеано теоремалары). Егер функциясы бастапқы нүктесі жататын шенелген D обылысында үзіліссіз, яғни және y бойынша алынған дербес туындысы осы D облысында шенелген, яғни Онда (3) шартты қанағаттандыратын (2) дифференциалдық теңдеудің жалғыз ғана шешімі бар болады. Бұл шешім бастапқы нүктенің маңайында үзіліссіз дифференциалданады. Геометриялық мағынасы: нүктесі арқылы теңдеуі дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыратын бір ғана қисық өтеді. Анықтама. функциясы (2) дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп аталады: 1) егер бұл функция С-ның кез келген мәнінде теңдеуді қанағаттандыратын болса, яғни 2) егер кез келген бастапқы нүктесі үшін Коши есебінің шешімі болып табылатын функциясын қанағаттандыратын анықталған тұрақтысы табылатын болса. Анықтама. функциясы дифференциялдық теңдеудің дербес шешімі деп аталады, мұндағы нақты тұрақты шама. Егер дифференциалдық теңдеудің шешімін арқылы өрнектеу мүмкін болмаса , яғни шешімі айқын берілмесе, онда Ф Дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы деп аталады. Егер мұндағы С-ның орнына нақты алынса, онда Ф дербес интеграл. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулерді интегралдау тәсілдері. Айнымалылары ажыратылытын теңдеулер. (2) дифференциалдық теңдеудің оң бөлігі аргументтері әртүрлі екі функцияның көбейтіндісінен тұрады делік:
Туындыны функцияның дифференциалымен аргументтің дифференциалы қатынасы түрінде береміз: Бірінші бөлігінде х, ал екінші бөлігінде у болатындай етіп теңдеуді екі бөлікке, алымында тек дифференциал болатындай, бөлеміз х пен у біріне бірі тәуелсіз болсын делік. Сонда теңдеудің екі бөлігі екі функцияның дифференциалын береді. Енді теңдеудің екі бөлігін жеке жеке интегралдаймыз: бұл (4) теңдеудің жалпы интегралы. түріндегі жай теңдеулер жиі кездеседі. Мұндай теңдеулер айнымалысы ажыратылған, сондықтан оны интегралдаймыз: . Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінің бір ғана ерікті интералдау С тұрақтысы болады. Мысал. Дифференциалдық теңдеуді (ДТ) шешіңдер. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер. түріндегі дифференциалдық теңдеуді берілсін. ке бөлеміз, әр бөлігі тек бір айнымалыға ғана тәуелді, енді интегралдаймыз: Жалпы интеграл түрінде шешім аламыз. Мысал. дифференциалдық теңдеуді шешіңдер 1. , Біртекті дифференциалдық теңдеу. Анықтама. Егер барлық х, у үшін
теңдігі орындалса, онда функциясы n-ші ретті біртекті функция деп аталады, кезкелген шама. Мысалы , яғни функция нөл өлшемді біртекті деп аталады. Анықтама.
түріндегі теңдеудің оң бөлігі нөл өлшемді біртекті функция болса, онда теңдеу бір өлшемді біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады. Анықтама бойынша , яғни (6) (5) теңдеу үшін (6) теңдік отрындалады, онда шамасы үшін ті аламыз. Сонда (6) теңдік мына түрге келеді: яғни (5) дифференциалдық теңдеудің оң бөлігі қатынасының функциясы болады. Сонымен, Сондықтан, мынадай ауыстыру орындаймыз: (7) мұндағы үзіліссіз, дифференциалданатын белгісіз функция. және оның туындысын табамыз: (5`) теңдеуіне қоямыз, сонда Ал бұл айнымалылары ажыратылатын теңдеу, атап айтқанда немесе айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеу: бұл теңдік тікелей интегралданады. Сонымен, бір өлшемді біртекті дифференциалдық теңдеу (7) ауыстырумен айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеуге келтіріледі. Негізгі әдебиет: 14, [136-196], 15, [447-514] Қосымша әдебиет: 17, [119-142]. Бақылау сұрақтары. 1.Жәй дифференциалдық теңдеудің анықтамасы 2.Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі 3.Коши есебі. Дербес шешімі 4.Айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеулер жүктеу/скачать 1,46 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|