Мазмұны І кіріспе ІІ негізгі бөлім

§10. Серпімді толқынның энергиясы

жүктеу/скачать 0,59 Mb.

бет	13/27
Дата	07.02.2022
өлшемі	0,59 Mb.
	#95286

1 ... 9 10 11 12 13 14 15 16 ... 27

Байланысты:
Мазм?ны І кіріспе ІІ негізгі б?лім

§10. Серпімді толқынның энергиясы.
Жазық қума толқын таралатын ортадан V элементар көлем бөліп алайық. Бұл көлемді қозғалыстың деформациясы мен жылдамдығы осы көлемнің барлық нүктелерінде бірдей және тең болуы үшін мен - ге сәйкес өте кішкентай етіп аламыз.
E формула бойынша біздің бөліп алған көлеміміз серпімді деформацияның төмендегідей потенциялдық энергиясына ие болады:
(7.6)
мұндағы - салыстырмалы ұзару, ал Е – Юнг модулы.
(7.6) бойынша Юнг модулы Е – ні ( - ортаның тығыздығы, - толқынның фазалық жылдамдығы) арқылы ауыстырамыз. Онда V көлемнің потенциялдық энергиясына арналған өрнек мына түрде жазылады:
(10.1)
Қарастырылып отырған көлем сондай – ақ, төмендегідей кинетикалық энергияға да ие болады:
(10.2)
(V – көлемнің массасы, - оның жылдамдығы). (81.2) және (81.2) өрнектерінің қосындысы толық энергияны береді:

Е энергияны сол энергия тұрған V көлемге бөліп, энергияның тығыздығы аламыз
(10.3)
Жазық толқынның (4.2) теңдеуін t және х бойынша дифференциялдап, мынаны аламыз:

Бұл өрнектерді (10.3) формуласына қойып, мынаны аламыз:
(10.4)
Көлденең толқын жағдайында да энергия тығыздығы үшін осындай өрнек алынады.
(10.4) формуласына энергия тығыздығы уақыттың әрбір мезетінде кеңістіктің әрбір нүктесінде түрліше болатындығы байқалады. Бір нүктедегі энергия тығыздығы уақыт бойынша синус квадратының заңы бойынша өзгереді. Синус квадраттың орташа мәні жартыға тең болғандықтан, ортаның әрбір нүктесіндегі энергияның орташа (уақыт бойынша) мәні мынаған тең:
(10.5)
(10.4) энергия тығыздығы және оның (10.5) орташа мәні ортаның  тығыздығына,  жиіліктің квадратына және а толқын амплитудасының квадратына пропорционал болады. Мұндай тәуелділік амплитудасы тұрақты толқын жазықтығында ғана емес, толқынның басқа түрлерінде де орын алады.
Сонымен толқын пайда болатын ортада энергияның қосымша қоры болады. Бұл энергия тербеліс көзінен ортаның түрлі нүктелеріне толқынның өзі тасымалдайды, демек, толқын өзімен бірге энергия тасымалдайды. Қандай да болсын, бет арқылы берілген уақыт ішінде толқын тасымалданатын энергия мөлшері энергия ағыны Ф деп аталады. Энергия ағыны – скаляр шама, оның өлшемділігі энергия өлшемділігін уақыт өлшемділігіне бөлгенге тең, яғни қуаттың өлшемділігіне дәл келеді. Осыған орай Ф шамасын эрг/сек, ватт т.б. арқылы өлшеуге болады.
Ортаның әр түрлі нүктелеріндегі энергия ағынының интенсивтілігі түрліше болады. Кеңістіктің әр түрлі нүктелеріндегі энергия ағысын сипаттау энергия ағынының тығыздығы деп аталатын векторлық шама енгізіледі. Бұл шама сан жағынан, энергия тасымалданатын бағытқа перпендикуляр, берілген нүктеде орналасқан бірлік аудан арқылы өтетін энергия ағынына тең. Энергия ағыны тығыздығы векторының бағыты энергия тасымалданатын бағытқа сәйкес келеді.
Толқынның таралу бағытына перпендикуляр S_ ауданша арқылы t уақыт ішінде Е энергия тасымалдансын делік. Онда энергия ағынының тығыздығы j анықтама бойынша мынаған тең:
(10.6)
шамасы S_ беті арқылы өтетін Ф энергия ағыны екенін ескерсек, мынаны жазуға болады:
(10.7)
S_ ауданша арқылы (10.1 – сурет) t уақыт ішінде табаны S_ биіктігі ( - толқынның фазалық жылдамдығы) цилиндр көлемінде жинақталған Е энергиясы тасымалданады. Егер цилиндрдің барлық нүктелеріндегі энергия тығыздығын бірдей деп санауға боларлықтай цилиндр мөлшері мейілінше аз болса, (S_ және t – ның өте аз болу есебінен), онда Е – ні и энергия тығыздығының S_ шамасына тең цилиндр көлемінің көбейтіндісіне тең деп санауға болады:
 Е  иS_
Е үшін бұл өрнекті (10.6) формуласына қойсақ, мынаны аламыз:
j=u (10.8)
фазалық жылдамдықты, бағыты толқынның таралу бағытымен (және энергияның тасымалдану) дәл келетін вектор ретінде қарастырып, төмендегіні жазуға болады:
j=u (10.9)
Энергия ағананың тығыздығының векторын қарастыруға алғаш рет орыстың көрнекті ғалымы Н. А. Умов енгізген, ол Умов векторы деп аталады. и энергия тығыздығы тәрізді (10.9) векторы да кеңістіктің әр түрлі нүктелерінде түрліше болады, ал кеңістіктің берілген нүктесінде уақыт өткен сайын синус квадраты заңы бойынша өзгереді. (10.5) өрнегін есекерсек, оның орташа мәні мынаған тең:
(10.10)
Кеңістіктің қандай да болсын нүктелеріндегі j – ді біле отырып, осы нүктеде түрліше бағдарлап орналасқан шағын ауданша (10.2 – сурет) арқылы өткен энергия ағынын табуға болады. Ол үшін S ауданшасының j векторына перпендикуляр жазықтыққа проекциялаймыз. S_ проекциясының шамасы мынаған тең болатындығы анық:
S_ S cos  (10.11)
мұндағы  - ауданға түсірілген п нормальдің j векторымен жасайтын бұрышы.
S – тің аз болуына байланысты S арқылы қандай ағын өтсе, S_ арқылы да сондай ағын ағып өтеді. S_ арқылы өтетін ағын (10.7) бойынша мынаған тең:
Ф  jS_
S_ - ті оның (10.11) өрнегіндегі мәнімен ауыстырып, мынаны аламыз:
Ф  jS cos 
Бірақ j cos шамасы j векторының S ауданшасына түсірілген п нормаль бағытындағы құраушысы болып табылады:
j_п  j cos 
Демек, төмендегіні жазуға болады
Ф  j_пS (10.12)
Сонымен S шағын ауданша арқылы өтетін энергия ағыны тығыздығы векторының нормаль құраушысы Sауданшаға көбейткенге тең.
Қалауымызша алынған S беттің кез келген нүктесіндегі j шамасын біле отырып, осы бет арқылы өтетін Ф энергия ағынын есептеп шығаруға болады. Осы мақсатпен бетті Sэлементар учаскелерге бөлеміз: бұл учаскелердің кішкентайлығы соншалық, оларды жазық деп, ал әрбір Sшегінде j вектрын шама жағынан да бағыт жағынан да тұрақты деп санауға болады. Онда әрбір Sучаскесі арқылы Ф элементар ағынын (10.12) формуласы бойынша есептеуге болады, әрбір Sүшін, Sауданша оранласқан жердегі j вектрының шамасына және осы ауданшаның j вектрымен салыстырғанда бағдарлануына байланысты болатын, j шамасының мәні алынады.
S бет арқылы өтетін толық элементар ағындардың қосындысына тең болады:
ФФ  j_пS (10.13)
Біз алған өрнек жуықтап алынған өрнек болып табылады. Ф – ның дәл мәнін алу үшін барлық S– ті нольге ұмтылдыу керек. Бұл жағдайда (10.13) қосындысы барлық S бет бойынша алынған интегралға айналады:
(10.14)
(10.15) формула беттің әр түрлі нүктелеріндегі энергия ағынының тығыздығы мен осы бет арқылы өтетін энергия ағыны арасындағы байланысты береді.
Сфералық толқынның толқындық беті арқылы өтетін энергия ағынын есептейік. Толқындық беттің барлық нүктесіндегі энергия ағыны тығыздығы векторының нормаль құраушысы бірдей және оның орташа мәні мынадай болады:

(а_r – толқын көзінен r қашықтықтағы толқын амплитудасы).
(10.14) формуладағы j_п – дің тұрақты мәнін интеграл таңбасының сыртына шығарсақ мынаны аламыз:

Егер толқын энергиясы ортада жұтылмаса, радиусы кез келген сфера арқылы өтетін орташа энергия ағынының мәні бірдей болады:

Осыдан сфералық толқынныңы а_r амплитудасы толқын көзінен қашықтыққа кері пропорционал болатындығы көрінеді (4.9) теңдеуіне қараңыз.
4 – параграфта біз, толқын энергиясы ортада жұтылмаған жағдайда ғана, жазық толқынының амплитудасы тұрақты болғандықтан атап кеттік. Олай болмаған жағдайда толқынның интенсивтілігі толқын көзінен алыстаған сайын біртіндеп кемиді – толқынның өлшеуі байқалады. Тәжірибе көрсеткендей, мұндай өшу экспоненциялдық заң бойынша өтеді. Мұның өзі толқын амплитудасы х қашықтыққа байланысты a = a₀ e^-^^x заңы бойынша кемиді
(10.15)
 шамасы толқының өшу кооэфициенті (немесе жұтылу кооэфициенті) деп аталады. Оның өлшемділігі ұзындықтың өлшемділігіне кері болады.  - ға кері шама толқын амплитудасы е есе кемитін қашықтыққа тең екендігіне оңай көз жеткізуге болады.
(10.10) бойынша (10.15) толқын интенсивтілігі х қашықтығына байланысты төмендегі заң бойынша кемиді:
(10.16)
Жұтатын ортада таралатын сфералық толқынның теңдеуі былай жазылады:
(10.17)

жүктеу/скачать 0,59 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 9 10 11 12 13 14 15 16 ... 27