«Механика» бойынша дәрістер курсы. Материялық нүктенің қозғалысы

Реал сұйықтар тұтқыр. Өйткені қозғалыстағы сұйықтарда әрқашан ішкі үйкеліс күштері пайда болады. Егер сұйықтардағы қысым күші, ауырлық күші сияқты күштермен салыстырғанда ішкі үйкеліс күші аз болса, сұйықты тұтқыр емес деп санауға болады.

Сұйықтардың қозғалуын сипаттау үшін ағыс сызығы деген түсінік енгіземіз.Оның әрбір нүктесіне жүргізілген жанама жылдамдық векторымен сәйкес келеді. (14-сурет)

Қозғалыстағы сұйықтықтың ағыс

Сызықтарымен шектелген белгілі бір

1 4-сурет көлемін бөліп алайық. Мұны ағыс түтікшесі

көлденең қималарының аудандары S₁ және

15-сурет S₂ S₂ болсын. (15-сурет). Бұл қималардан

Өткен судың ағыс жылдамдықтары, оларға

Сәйкес және . Әрбір ауданшадан

бірдей уақыт аралығында бірдей

мөлшерде сұйық ағып өтеді, яғни

Бұл сығылатын сұйықтардың үзіліссіздік теңдеуі деп аталады.

Сығылмайтын теңдіктер үшін бұл теңдеу қарапапайым түрде жазылады:

(6)

немесе (7)

Р₁

16-суретте көрсетілгендей ағыс

түтікшесін алайық, ал ағыс бағыты

бойынша жіңішкере беретін болсын:

һ түтікше неғұрлым жіңішкереген сайын

Р₂ сұйық жылдамдығы да соғұрлым арта

түседі, яғни үдеу пайда болады

һ₂ теңдеуді ескерсек

Сондықтан, көлденең қима қаншалықты кемісе жылдамдық соншалықты артады. Бұрыннан белгілі болғандай қысым деп бір ауданға перпендикуляр түсетін F күшінің сол ауданға қатынасымен өлшенетін шамаға айтады, яғни

Ағын түтікшесінің ішінен және аудандарымен шектелген сұйық массасын бөліп алайық. Оларға сәйкес сұйық жылдамдықтары және , ал қысымдары Р₁ және Р₂ болсын. (16-сурет). Ағын түтігі горизанталь орналаспай біраз көлбей орналасссын. қимасы алынған орынның биіктігі һ₁ әрпімен, қимасы алынған орынның биіктігін һ₂ әрпімен белгілейік.Сұйықтың массасы ағып өткенде бірсыпыра жұмыс істелінеді. Өйткені оған сұйық ішіндегі қысым есесінен белгілі бір күш әсер етеді.

Егер энергияның сақталу заңын ескерсек істелінген жұмыс энергия өзгерісіне тең.

(8)

Бұл энергияның әрқайсысы сұйықтың массасының кинетикалық және потенциялық энегияларынан құралады:

Бұдан болып шығады.

Енді осы жұмысты күш арқылы есептейік. А жұмысы және қималары арасындағы барлық сұйық бөлігі қозғалғанда уақыт ішінде істелген жұмысқа тең болады. Бұл уақыт ішінде әлгі қималардан сұйықтың массасы ағып өтетіндігін білдіреді. Сұйық массасын бірінші қима тұрған орыннан өткізу үшін кесіндісіне, ал оны екінші қима тұрған орыннан өткізу үшін кесіндісіне жылжиды. Бөліп алынған сұйық бөлігінің екі шетінің әрқайсына түсетін күштер мынаған тең:

және .

Бірінші күш-оң шама, өйткені ол сұйық ағысының бағытына сәйкес әсер етеді, екініш күш-теріс шама, өйткені бұл күш сұйықтың қозғалу бағытына қарама-қарсы әсер етеді.

Сонымен сыртқы күштердің толық жұмысы мынаған тең:

Енді осы екі жолмен тапқан жұмыс мәндерін теңестірейік:

Немесе (9)

Сұйықтың үзіліссіздігі жөніндегі заң бойынша S_i және S₂ қималар арқылы өтетін сұйықтың массасының көлемі тұрақты болады, яғни

Енді (9) теңдіктің екі жағында көлеміне бөлеміз және -сұйықтың тығыздығы екендігін ескеріп, мынаны табамыз.

Бұл (10) екендігін білдіреді.

Бұл теңдеуді 1738 жылы Данилл Бернулли қорытып шығарды. Сондықтан оны Бернулли теңдеуі дейді.

Бернулли теңдеуіндегі динамикалық, ал гидродинамикалық қысым деп аталады. Ол биіктіктің артуына байланысты статикалық қысымның қаншалықты кемігендігін көрсетеді.

Бернулли теңдеуінен мынадай салдар шығады.

1. 
   Егер ағыс жылдамдығы өте үлкен болса сұйық ішіндегі қысым теріс болуы мүмкін; бұл кезде сұйық созу күштерінің ықпалында болады. Созу күштері (сығылмайтын және созылмайтын) идеал сұйықтар үшін кез келген мәнге ие болуы мүмкін. Бірақ реал сұйықтар үшін бұл дұрыс келмейді, өйткені онда салмағы бар қатты бөлшектер мен газ бен бу бар көпіршіктері бар. Қысымның нольге жақын болып, төмендеп кету салдарынан, сұйық ағысының үздіксіздігі бұзылып, ол орындарда ішінен газ бен бу бар көпіршіктер пайда болады. Осы құбылысты кавитация дейді. Бұл төменгі қысымда сұйықтың қайнайтындығымен түсіндіріледі. Кавитацияның пайда болуы сұйықты қаптай ағатын дененің гидродинамикалық сипаттамасын төмендетіп қана қоймай оны білдіруі мүмкін.(мәселен сүңгуір қайықтың асты қалақшаларының көтеруші күші тез төмендейді).
   
2. 
   Егер ағыс түтікшесі горизанталь болса, онда көбейтіндісі тұрақты болып, Бернулли теңдеуі мына түрде жазылады:
   

3. 
   Егер ағыс түтікшесінің көлденең қимасыны тұрақты, болса, онда үзіліссіздік күші есесінен барлық қималардағы жылдамдықта бірдей болады және Бернулли теңдеуі мына түрге ие болады.