Мектеп математикасындағы мәтіндік есептерді шешудің әдістемесі

Күнделікті тұрмыста практикалық мазмұнды есептерді шешуді көп кездестіреміз. Есеп шығара білу - әр адамның математикалық, логикалық және сын тұрғысынан ойлау қабілетінің даму көрсеткіші. Мазмұнды есептер бастауыш сынып математикасынан бастап барлық орта мектеп математика курсында кездеседі. Бірақ берілген тақырыпта оларды өз дәрежесінде меңгеру мүмкін бола бермейді. Мазмұнды есептер өте алуан түрлі болып келеді, кейде есеп мазмұнын түсіну қиынға түседі.

Мазмұнды есептер қандай да бір нақтылы оқиғаның сөздік моделі болғандықтан, есеп мазмұны бойынша оқиғаны ойша көз алдына келтіруге немесе көрнекі құралдар арқылы оның заттық моделін жасауға болады.

Жалпы практикалық мазмұнды есептерді төрт негізгі тақырыпшалар бойынша қарастыруға болады:

1 Сандық тәуелділіктер;

2 Проценттер, қоспалар, ерітінділер;

3 Қозғалыс есептері;

4 Бірігіп жұмыс атқару есептері.

Бұл типтегі есептер, негізінен, теңдеу немесе теңдеулер жүйесін құру арқылы шығарылады. Мазмұнды есептердің аталған типтеріне қысқаша тоқталайық.

1 Сандық тәуелділіктерге берілген есептер

Сан және цифр түсініктері бірдей емес. Цифр деп бір таңбалы сандарды атайды (0-ден 9-ға дейін, барлығы 10 цифр бар). Сандар цифрлардың көмегімен жазылады және сандарды жазудың ережелері бар. Ереже бойынша а және в цифрлері көмегімен жазылған екі таңбалы сан 10а+в өрнегімен беріледі, ал а, в, с - цифрлерімен берілген үш таңбалы сан 100а+10в+с өрнегімен анықталады т.т.

Мысалы, 654=6*100+5*10+4

Теңдеулер құрастыруға осы қарапайым формулалар қолданылады.

Есеп: Екі натурал санның біреуі екіншісінен 4-ке кем, ал көбейтіндісі 192-ге тең. Осы натурал санды тап.

Шешуі: теңдеу жүйесін құрып, шешкенде 12 және 16 сандары шығады.

Жауабы: 12 және 16

2 Проценттер, қоспалар, ерітінділерге құрылған есептер.

Процент -бөлікті көрсету қажеттілігінен шыққан ұғым. Бір процент дегеніміз - жүзден бір бөлік, яғни 1%=1/100. Айталық, 200 тоннаның 5%-і ол 200 тоннаның 5/100 бөлігі, яғни 10 тонна. Тестік есептеулерде жиі кездесетін проценттерді атап өтейік.

50=50/100=1/2 (жартысы); 25%=25/100=1/4 (ширегі); 75%=75/100=3/4

Қоспаларға қатысты есептердің шешімдері "концентрация", "проценттік құрам ", "ылғалдылық" т.б. түсініктерімен байланысты және келесі келісушіліктерге негізделген:

- қарастырылған қоспалар, ерітінділер біртекті болып саналады;

- литрді көлем бірлігі ретінде қарастыруымен масса бірлігі ретінде қарастырудың айырмашылығы жоқ.

Есептер, көбінесе, екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесіне келтіріледі.

Қоспа болып табылатын зат бірнеше заттан құралады. Теңдеулер жүйесіндегі бір теңдеу, әдетте, заттардың салмағына байланысты, ал екіншісі олардың концентрациясына байланысты құралады.

Есеп. 30% -дық тұз қышқылының ерітіндісін 10% -дық ерітіндісімен араластырды да 600 г 15% -дық ерітінді алды. Әр ерітіндіден қанша грамнан алынған еді?

Шешуі: 1) - 30% ерітінді

2) - 10% ерітінді

Жауабы: 150 г, 450 г

Есеп. Мыс пен қалайы қорытпасының салмағы 12 кг, бұл қорытпаның 45% -і мыс. Жаңа қоспаның құрамында 40% мыс болатындай қоспаға таза қалайыдан қанша қосу керек?

Шешуі: Берілген қоспадағы мыс салмағын табамыз:

12 кг* 0,455,4 кг (мыс)

Мыстың бұл салмағы жаңа қорытпаның 40% -і, жаңа қорытпа салмағын анықтаймыз: 5,4: 0,413,5 кг. Сонда 13,5-121,5 кг қалайы қосу керек.

Жауабы: 1,5 кг қалайы

3 Қозғалыс есептері

Алдымен қозғалыс есептерін анықтап алайық:

1 Құрғақ жердегі қозғалыста қозғалыс жылдамдығы көлік жылдамдығына тең ("қозғалыс жылдамдығы" дегенде біз қозғалыстағы адамның жылдамдығын түсінеміз);

2 Тынық судағы (көл, бассейн) қозғалыс жылдамдығы қайықтың жылдамдығына тең;

3 Ағынды суда егер өзінің жылдамдығы болатын дене жылдамдығы -ке тең өзен ағысымен қозғалса, дене жылдамдығымен , ал ағысқа қарсы қозғалса жылдамдығымен жүзеді.

4 Меншікті жылдамдығы жоқ ден өзен ағысымен қозғалса, қозғалыс жылдамдығы ағын жылдамдығына тең. Сонымен қатар, қозғалыс есептерінде келісушіліктер қабылданған:

- арнайы ескерулер болмаған жағдайда қозғалыс бірқалыпты болып саналады;

- жылдамдық оң таңбалы шама болып саналады;

- қозғалыстың жаңа кестесіне көшу лезде іске асырылады.

Қозғалыс параметрлерін байланыстыратын негізгі формула: s=vt мұнда

s- жолдың ұзындығы, v - жылдамдық, t - уақыт.

Бірігіп жұмыс атқару есептері

Бұл есептер мен қозғалыс есептері арасында аналогия жүргізіп, кейде бірігіп жұмыс атқару есептерін қозғалыс есептеріне жатқызады. Расында, жолына А- жұмысын, V - жылдамдығына С - өнімділікті, ал t - уақытын солай қалдырса, аналогияның орны бар.

Өнімділікті есептеуде пропорция құру жиі қолданылады.

Мысал үшін төмендегі есептерді қарастырамыз:

1 Жұмысшылар бригадасы 360 детальды дайындап шығуы керек еді. Күніне белгіленген жоспарынан 4 детальды артық жасағандықтан бригада барлық тапсырманы белгіленген мерзімнен 1 күн ерте бітірді. Осы тапсырманы орындауға қанша күн жұмсады?

2 Күніне жалқыларға 96 кг шөп беретіндей етіп шөп қоры дайындалды. Екі жылқыны көрші колхозға өткізгендіктен, күніне әр жылқыға берілуі тиісті мөлшерлі шөпті 4 кг-ға артық беруге тура келді. Әуелде қанша жылқы болып еді?

Алайда, мұндай түрдегі есептерді шығару үшін, яғни есеп мағынасына (құрылымына) семантикалық талдау жасау арқылы барлық арақатынасты, ерекшелікті тағайындап шығару тиімді.

"Математика" пәнінен тесттер жинағындағы нұсқалардағы мазмұнды есептерді шығару жолдарын көрсетсек.

1 Катер өзен ағысымен 15 км және 4 км тынық суда жүзді. Барлық жолға 1 сағат уақыт кетті. Өзен ағысының жылдамдығы 4 км/сағ болса, онда катердің өзен ағысымен жүзгендегі жылдамдығын табыңыз.

А) 12 км/сағ В) 20 км/сағ С) 16 км/сағ Д) 32 км/сағ Е)18 км/сағ

Жауабы: В

2. Қанат велосипедпен ауылдан көлге дейін барып, кідірместен кері қайтқан, сонда бұл жолға 1 сағат уақыт кетті. Ауылдан көлге дейінгі жылдамдығы 15 км/сағ, ал көлден ауылға дейінгі жылдамдығы 10 км/сағ болды. Көлден ауылға дейінгі арақашықтықты табыңыз.

А) 5 км В) 10 км С) 6 км Д) 8 км Е) 4 км

Жауабы: С

3. Әкесі 50 жаста, ал ұлы 20 жаста. Бұдан неше жыл бұрын әкесі ұлынан 3 есе үлкен болып еді?

А) 3 В) 6 С) 5 Д) 9 Е) 15

Шешуі: жыл бұрын әкесі ұлынан 3 есе үлкен болсын. Сонда әкесі 50-, ұлы 20 - болған. Есептің шартына сәйкес теңдеу құрамыз:

Бұдан 5 жыл бұрын әкесі 45, ұлы 15 жаста болған екен.

Жауабы: С

4. Екі бидонда 70 литр сүт бар. Егер бірінші бидоннан екінші бидонға 12,5 % сүтті құйсақ, онда екі бидондағы сүт бірдей болады. Бірінші бидонда неше литр сүт болған еді?

А) 30 л В) 35 л С) 50 л Д) 40 л Е) 45 л

Шешуі: бірінші бидондағы сүт литр болсын. Екінші бидонға 12,5 % сүтті құйғанда, бірінші бидонда 0,875 литр сүт қалады. Сонда 0,875, литр.

Жауабы: Д

5. Товар 1386 мың теңгеге сатылғанда 10% пайда алынды. Товардың өзіндік құнын анықтаңыз.

А)1260 мың тг; В)1264 мың тг; С) 1262 мың тг; Д)1263 мың тг; Е)1261 мың тг

Жауабы: А

6. Квадраттың қабырғалары 25% -ке ұзартылған. Квадраттың ауданы қанша процентке көбейеді?

А) 25% В) 56, 25% С) 52,65% Д) 50% Е) 30%

--------,

Демек, квадраттың ауданы 156,25 - ке артық.

Жауабы: В

7. Тізбектес екі натурал санның көбейтіндісі олардың кішісінен 2 есе үлкен. Осы сандарды табыңыз.

Жауабы: С

8. Матаның жартысы, одан кейін қалған бөліктің жартысы сатылды. Осыдан кейін 0,5 м мата қалды. Бастапқыда неше м мата болғанын табыңыз.

А) 4 В) 2 С) 3 Д) 1 Е) 5

Жауабы: В

9. Маторлы қайық ағыс бойымен 18 км және ағысқа қарсы 14 км жүрді, осы жолдың барлығына ол 3 сағ 15 мин жұмсады. Қайықтың меншікті жылдамдығы 10 км/сағ . Ағыстың жылдамдығын табыңыз.

А) 2,5 км/сағ В)2 км/сағ С) 3 км/сағ Д) 1 км/сағ Е) 1,5 км/сағ

Ағыстың жылдамдығы 2 км/сағ.

Жауабы: В

10. Екі айлақтың арасы 55,4 км. Кеме екі айлақтың арасын ағыспен 2 сағат жүрді. Ағыс жылдамдығы 2,8 км/сағ , кеменің өз жылдамдығын табыңыз.

А) 29,1 км/сағ В) 24,9 км/сағ С) 30,5 км/сағ Д) 26,3 км/сағ Е) 25 км/сағ

Шешуі: кеменің жылдамдығы км/сағ болсын. Кеменің ағыспен жүрген жылдамдығы км/сағ.

Жауабы: В

11. Массасы 10 кг қоспада 4/5 никель және бірдей мөлшерде төрт түрлі металл бар. Олардың ішінде темір де бар. Қоспаның құрамында қанша темір бар?

А) 2 г В) 1 г С) 200 г Д) 500 г Е) 250 г

Шешуі: қоспаның 1-4/5 1/5 бөлігі төрт түрлі металл. Қоспадағы бірдей мөлшерде төрт түрлі металлдың массасы 10*1/5 (кг) болады. Демек, тқоспаның құрамында темір 2/4 кг500 г.

Жауабы: Д