Метод ван-дер-поля
жүктеу/скачать 0,59 Mb.
|
prorobot.ru-11-0187 метод вандер
- Бұл бет үшін навигация:
- Решение уравнения
| Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных функции непрерывны и ограничены. Функции также непрерывны и ограничены в области Г. — 2 -периодические по t. Функции и — удовлетворяют условию Липшица по переменным и (при этих условиях существует и единственно решение). Тогда для и L>0:
(5) 0 (6) Доказательство: Решение задач Коши (1) и (4), (3) и (4) существует и единственно. Поэтому решение (1) и (4) будем искать методом приближений. Обозначим (*) Функция — 2 -периодическая по . Пусть (7) удовлетворяет условиям Липшица по переменным и . Проинтегрируем функцию : . Интеграл и поэтому (7a) В промежутке находятся те значения t, для которых будет существовать решение (1) - (4) и оно не выйдет за пределы области G. Это характеризуется так Из теоремы Пикара следует, что при всех таких t приближенное выражение сходится к решению задачи Коши: — целую часть от деления обозначим N. Тогда — дробная часть , где — остаточный интервал. С учетом возможности такого разбиения Если рассмотреть , то последнее выражение перепишется в виде: = , где с учетом (4) = Рассмотрим интеграл при и от не зависят. Из равенств (7а) следует, что последнее выражение равно нулю . Вычислим
То есть (8) Мы можем сказать, что в (8), все, что стоит под знаком суммы Так как
, то последнее неравенство равносильно следующему: Поэтому: = , (9) где (10) — удовлетворяет условию Липшица, поэтому мы можем воспользоваться этим, переходя к оценкам (11) (12) Пусть , причем , тогда: (13) Оценим
(14) Фактически нужно оценить величину . Используем условие Липшица для , тогда последнее неравенство (последняя оценка получена с помощью неравенства (11)). (15) (16) Можно увидеть следующую закономерность (17) По методу математической индукции, для оценки верны. Покажем их справедливость и для Используя формулу (13), далее получим: (18) Теперь в этом неравенстве перейдем к пределу при (19) Обозначим через Так как мы пользовались условиями Липшица, нужно убедиться, что приближения не выходят из области G. — по теореме Пикара это не выходит за пределы области G, то есть В силу плотности числовой прямой , где (20) Проверим, вышло ли первое приближение за пределы области G. Пользуясь оценками (19) и (20), имеем: Возьмем , тогда Аналогично проверяем второе приближение Возьмем , тогда И если , если Если мы перейдем к перейдем к пределу при , то получим: (21) Если мы будем выбирать из условия (21), то использование условия Липшица законно. необходимо согласовывать с с помощью (21) и Решение уравнения Рассмотрим уравнение (1) Данное уравнение второго порядка описывает колебательное движение. Здесь ω – некоторая действительная постоянная, а ε – малый параметр. Делаем в уравнении (1) замену: тогда получим систему (2) жүктеу/скачать 0,59 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|