Метод ван-дер-поля
Переходим в уравнении (1) к новым переменным a и , полагая здесь и далее , согласно формулам
жүктеу/скачать 0,59 Mb.
|
prorobot.ru-11-0187 метод вандер
Переходим в уравнении (1) к новым переменным a и , полагая здесь и далее , согласно формулам(3) Далее, дифференцируем (3) по t, считая и φ . (4) Подставим (4) в (2), учитывая (3). (5) Разрешим эту систему относительно Домножим второе уравнение на , тогда имеем: (6) Система (6) полностью эквивалентна уравнению (1). Соответствующая системе (6) усредненная система имеет вид (7) В системе (7) и имеют вид: то есть Таким образом имеем или (8) Чтобы найти в явном виде закон изменения амплитуды в зависимости от времени, необходимо решить первое уравнение системы (8): Умножим обе части равенства на : . Сделаем замену , умножаем обе части равенства на : Так как , то тогда , или Предположим, что , тогда ; ; + . Отсюда находим (9а) Колебания представятся следующим образом (находим выражение для приближенного значения x в явном виде) (9) Найдем Динамический режим обладает сильной устойчивостью, заключающейся в том, что каково бы ни было значение , малое или большое, все равно при . Как видно из выражения (9), если начальное значение амплитуды =0, амплитуда останется равной нулю для любого t, и, следовательно, получим х=0, то есть тривиальное решение уравнения (1). Это тривиальное решение, очевидно, соответствует статическому режиму, то есть отсутствию колебаний в системе. Однако, исходя из формулы (9), нетрудно заключить, что этот статический режим неустойчив. Действительно, как бы ни было мало начальное значение амплитуды, оно все равно будет монотонно приближаться к значениям, равным . Таким образом, поскольку случайные малые толчки практически неизбежны, в рассматриваемой колебательной системе, находящейся в состоянии покоя, автоматически возбуждаются колебания с амплитудой, то есть система самовозбуждается. Из выражения (9) следует, что если , то , и для любых очень быстро приближается к значению независимо от . Это решение соответствует стационарному (установившемуся) динамическому режиму: (10) Иначе говоря, любое колебание при увеличении t приближается к стационарному колебанию, то есть колебания будут устойчивы. Режимы с постоянной амплитудой, для , приводят к уравнению А = =0 . Корни этого уравнения ; ; <0 Таким образом, соответствует неустойчивому состоянию равновесия, а соответствует устойчивому предельному циклу. Для любого заданного положительного сколь угодно малого значения параметра всегда можно найти такое достаточно малое значение параметра , для которого уравнение (1) или, что то же самое, система (2), имела бы предельный цикл, лежащий в окрестности окружности , причем этот предельный цикл устойчив, если , и неустойчив, если . Все эти рассуждения следуют из теоремы Мандельштама и Папалекси. Наряду с точной системой рассматривается приближенная , (s=1,2) . жүктеу/скачать 0,59 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|