Задание №2 Дифференциальное исчисление Проверила: Жанабергенова Г. К. Абдрахманова А. С. Группа: фн (Д) -135 Алматы, 2014 г



Дата16.03.2022
өлшемі446,97 Kb.
#135954
Байланысты:
задание 2 (ВСК 2)
Dormitory room request form

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
КАЗАХСКИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Т.РЫСКУЛОВА


Задание № 2
Дифференциальное  исчисление


Проверила: Жанабергенова Г.К.
Выполнила: Абдрахманова А.С.
Группа: ФН (Д) -135
Алматы, 2014 г.



ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ




§ 1. Производная




п. 1. Основные понятия

 Пусть дана функция f(x). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0 и новое х. Разности Dх = х-х0 и D y = f(x)-f(x0) = y-y0 называются соответ­ственно приращением аргумента и приращением функции в точке х0. Оче­видно, что х = х0+Dх, у = у0+Dу, Dу = f(x0+Dx)-f(x0). В дальнейшем будем считать значение х0 фиксированным, а х – переменным. При этом  и  являются пе­ременными величинами.
Производной функции у f(x) в точке х0 называется  если этот предел существует. Производная обозначается у'(x0) или f'(x0). Таким образом,  .
Пусть Х {х}-множество всех таких х, для которых существует y'(х). Очевидно, что  (х) является функцией, определенной на множестве Х.
Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференци­руемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала (a, b), называется дифференцируемой на интервале (a, b).
Из курса средней школы известен геометрический смысл производной. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, тогда угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке (х0, f(х0)) равен у'(х0).
Из курса средней школы известен также физический смысл производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону = f(t), где – время, S – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость точки в момент времени t равна: = S'(t).
Теорема (о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть аргумент х получает в точке х0 приращение Dх ¹ 0. Ему соответствует некоторое приращение функции . Вычислим предел:

а это и означает непрерывность функции в точке х0.
Заметим, что обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не дифференцируемы. Примерами могут слу­жить функции у = çх çи  в точке х = 0. В обоих случаях  (0) не существует.

Заметим, что график у = çх çв точке х = 0 не имеет касательной, а график  в точке х=0 имеет вертикальную касательную – ось Оу.
Можно показать, что для того, чтобы функция у = f(x) была дифференцируемой в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы ее график имел невертикаль­ную касательную в точке (х0, f(х0)).

п. 2. Вычисление производной

Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы:
1. С' = 0, где С – константа.
2. (хn) ' = n×xn-1, где n – натуральное число
3. (ax)'= axlna, где а>0, a ¹ 1. В частности, (ех)' = ех
4. , где а>0, a ¹ 1. В частности, 
5. (sinx)' = cosx
6. (cosx)' = -sinx
В курсе средней школы установлены основные правила дифференцирования.
Пусть u = u(x) и v = v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, u×v,  . Последнее при условии, что v(x) ¹ 0. Причем
(u+v)' = u'+v'
(u×v)' = u'v+uv'

Следствием последних трех соотношений являются следующие два: (сu)' = cu', где с – константа, и (u-v)' = u'-v'
Используя правило нахождения производной частного, легко получаются формулы:  и  , которые выполняются для любого х, при котором существует tgx и cosx ¹ 0 или существует ctgx и sinx¹0.

п. 3. Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некото­ром интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Тогда в соответствующей точке хобратная функция у = f--1(x) имеет производную [f--1(x)]', причем
или 
Доказательство. По условию теоремы функция x = f(y) монотонна и дифференци­руема, следовательно, по теореме о существовании обратной функции функция у = f--1(x) существует, монотонна и непрерывна на соответствующем интервале. Дадим аргументу х приращение Δх¹0. Тогда функция у = f--1(x) получит приращение Δу, которое в силу ее монотонности отлично от нуля. Так как функция у =f--1(x) непрерывна, то Δу®0 при Δх®0. Тогда  .
Пользуясь доказанной теоремой, вычислим производные обратных триго­нометрических функций. Для функции у = arcsinx обратной является функция x = siny, которая является в интервале  монотонной и дифференцируе­мой. Ее производная x' = cosy в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому  . Таким образом  .
Аналогично получаются формулы


п. 4. Производная сложной функции

Пусть y = f(u) и u = g(x). Тогда функция y = f(g(x)) называется сложной функ­цией от х.
Теорема 1. Если функция u=g(x) имеет производную u'x в точке х, а функ­ция y = f(u) имеет производную у'u в соответствующей точке u, то сложная функция y = f(g(x)) в точке х имеет производную у'x,причем у'x = у'u× u'x.
Доказательство. Дадим х приращение Δх. Тогда u и у получат соответст­венно приращения Δu и Δу. Будем считать, что Δu при Δх®0 не принимает зна­чений, равных нулю. Тогда  . Так как функция u = g(x) дифференцируема, а следовательно, непрерывна, то Δu®0 при Δх®0. Поэтому  . Тогда  . Это означает, что у'x = у'u× u'x.
Заметим, что теорема верна и в случае, когда при Δх®0 Δu принимает значения, равные нулю.









Достарыңызбен бөлісу:




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет