МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН КАЗАХСКИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Т.РЫСКУЛОВА
Задание № 2 Дифференциальное исчисление
Проверила: Жанабергенова Г.К. Выполнила: Абдрахманова А.С. Группа: ФН (Д) -135 Алматы, 2014 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Производная
п. 1. Основные понятия
Пусть дана функция y = f(x). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0и новое х. Разности Dх = х-х0 и D y = f(x)-f(x0) = y-y0 называются соответственно приращением аргумента и приращением функции в точке х0. Очевидно, что х = х0+Dх, у = у0+Dу, Dу = f(x0+Dx)-f(x0). В дальнейшем будем считать значение х0 фиксированным, а х – переменным. При этом Dх и Dу являются переменными величинами.
Производной функции у = f(x)в точке х0 называется если этот предел существует. Производная обозначается у'(x0) или f'(x0). Таким образом, .
Пусть Х = {х}-множество всех таких х, для которых существует y'(х). Очевидно, что (х) является функцией, определенной на множестве Х.
Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала (a, b), называется дифференцируемой на интервале (a, b). Из курса средней школы известен геометрический смысл производной. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, тогда угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке (х0, f(х0)) равен у'(х0). Из курса средней школы известен также физический смысл производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость точки в момент времени t равна: V = S'(t). Теорема (о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть аргумент х получает в точке х0 приращение Dх ¹ 0. Ему соответствует некоторое приращение функции Dу. Вычислим предел:
а это и означает непрерывность функции в точке х0.
Заметим, что обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не дифференцируемы. Примерами могут служить функции у = çх çи в точке х = 0. В обоих случаях (0) не существует.
Заметим, что график у = çх çв точке х =0 не имеет касательной, а график в точке х=0 имеет вертикальную касательную – ось Оу.
Можно показать, что для того, чтобы функция у = f(x) была дифференцируемой в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы ее график имел невертикальную касательную в точке (х0, f(х0)).
п. 2. Вычисление производной
Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы:
1. С' = 0, где С – константа.
2. (хn) ' = n×xn-1, где n – натуральное число
3. (ax)'= axlna, где а>0, a ¹ 1. В частности, (ех)' = ех
4. , где а>0, a ¹ 1. В частности,
5. (sinx)' = cosx
6. (cosx)' = -sinx
В курсе средней школы установлены основные правила дифференцирования.
Пусть u = u(x) и v = v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, u×v, . Последнее при условии, что v(x) ¹ 0. Причем
(u+v)' = u'+v'
(u×v)' = u'v+uv'
Следствием последних трех соотношений являются следующие два: (сu)' = cu', где с – константа, и (u-v)' = u'-v'
Используя правило нахождения производной частного, легко получаются формулы: и , которые выполняются для любого х, при котором существует tgx и cosx ¹ 0 или существует ctgx и sinx¹0.
п. 3. Производная обратной функции
Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Тогда в соответствующей точке хобратная функция у = f--1(x) имеет производную [f--1(x)]', причем
или
Доказательство. По условию теоремы функция x = f(y) монотонна и дифференцируема, следовательно, по теореме о существовании обратной функции функция у = f--1(x) существует, монотонна и непрерывна на соответствующем интервале. Дадим аргументу х приращение Δх¹0. Тогда функция у = f--1(x) получит приращение Δу, которое в силу ее монотонности отлично от нуля. Так как функция у =f--1(x) непрерывна, то Δу®0 при Δх®0. Тогда .
Пользуясь доказанной теоремой, вычислим производные обратных тригонометрических функций. Для функции у = arcsinx обратной является функция x = siny, которая является в интервале монотонной и дифференцируемой. Ее производная x' = cosy в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому . Таким образом .
Аналогично получаются формулы
п. 4. Производная сложной функции
Пусть y = f(u) и u = g(x). Тогда функция y = f(g(x)) называется сложной функцией от х.
Теорема 1. Если функция u=g(x) имеет производную u'x в точке х, а функция y = f(u) имеет производную у'u в соответствующей точке u, то сложная функция y = f(g(x)) в точке х имеет производную у'x,причем у'x = у'u× u'x.
Доказательство. Дадим х приращение Δх. Тогда u и у получат соответственно приращения Δu и Δу. Будем считать, что Δu при Δх®0 не принимает значений, равных нулю. Тогда . Так как функция u = g(x) дифференцируема, а следовательно, непрерывна, то Δu®0 при Δх®0. Поэтому . Тогда . Это означает, что у'x = у'u× u'x.
Заметим, что теорема верна и в случае, когда при Δх®0 Δu принимает значения, равные нулю.
